Номер 7.5, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.5, страница 38.

7.5. a) $\sqrt{25a^3};$

б) $\sqrt[4]{405a^5};$

в) $\sqrt[3]{24x^3};$

г) $\sqrt[5]{160m^{10}}.$

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{25a^3}$ необходимо вынести множители из-под знака корня. Для этого представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся полными квадратами.

Число 25 является полным квадратом: $25 = 5^2$.

Степень $a^3$ можно представить как $a^3 = a^2 \cdot a$.

Таким образом, выражение можно переписать: $\sqrt{25a^3} = \sqrt{25 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{5^2 \cdot a^2 \cdot a}$.

Используя свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$), выносим множители:

$\sqrt{5^2 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = 5a\sqrt{a}$.

Заметим, что исходное выражение $\sqrt{25a^3}$ определено при $a^3 \ge 0$, то есть при $a \ge 0$. Поэтому $\sqrt{a^2} = |a| = a$.

Ответ: $5a\sqrt{a}$.

б)

Упростим выражение $\sqrt[4]{405a^5}$. Для этого разложим подкоренное выражение на множители, которые можно представить в виде четвертой степени.

Разложим число 405 на множители: $405 = 81 \cdot 5 = 3^4 \cdot 5$.

Степень $a^5$ можно представить как $a^5 = a^4 \cdot a$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[4]{405a^5} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 5 \cdot a^4 \cdot a}$.

Сгруппируем множители, являющиеся четвертыми степенями, и вынесем их из-под знака корня, используя свойство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$:

$\sqrt[4]{(3^4 \cdot a^4) \cdot (5a)} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{5a} = 3a\sqrt[4]{5a}$.

Выражение $\sqrt[4]{405a^5}$ определено при $a^5 \ge 0$, то есть при $a \ge 0$. Следовательно, $\sqrt[4]{a^4} = |a| = a$.

Ответ: $3a\sqrt[4]{5a}$.

в)

Упростим выражение $\sqrt[3]{24x^3}$. Вынесем множители из-под знака кубического корня. Для этого представим подкоренное выражение как произведение множителей, являющихся полными кубами.

Разложим число 24 на множители: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Множитель $x^3$ уже является полным кубом.

Перепишем выражение:

$\sqrt[3]{24x^3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3 \cdot x^3}$.

Сгруппируем множители в кубе и вынесем их из-под знака корня:

$\sqrt[3]{(2^3 \cdot x^3) \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2x\sqrt[3]{3}$.

Так как корень нечетной степени ($\sqrt[3]{...}$), он определен для любых действительных значений $x$, и $\sqrt[3]{x^3} = x$.

Ответ: $2x\sqrt[3]{3}$.

г)

Упростим выражение $\sqrt[5]{160m^{10}}$. Разложим подкоренное выражение на множители, которые являются пятыми степенями.

Разложим число 160 на множители: $160 = 32 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$.

Степень $m^{10}$ можно представить как пятую степень: $m^{10} = (m^2)^5$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[5]{160m^{10}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5 \cdot (m^2)^5}$.

Сгруппируем множители, являющиеся пятыми степенями, и вынесем их из-под знака корня:

$\sqrt[5]{(2^5 \cdot (m^2)^5) \cdot 5} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{(m^2)^5} \cdot \sqrt[5]{5} = 2m^2\sqrt[5]{5}$.

Корень нечетной степени определен для любых действительных $m$, и $\sqrt[5]{(m^2)^5} = m^2$.

Ответ: $2m^2\sqrt[5]{5}$.