Номер 7.10, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.10, страница 39.

7.10. a) $ \sqrt[4]{-162t^4r^5} $

б) $ \sqrt[3]{625x^5y^6} $

B) $ \sqrt{128a^6b^9} $

Г) $ \sqrt[5]{-64m^6n^{16}} $

а) Исходное выражение: $\sqrt[4]{-162t^4r^5}$.Показатель корня $n=4$ является четным числом. Корень четной степени в поле действительных чисел определен только для неотрицательных подкоренных выражений.Следовательно, должно выполняться условие: $-162t^4r^5 \ge 0$.Поскольку $t^4 \ge 0$ для любого действительного $t$, а $-162 < 0$, неравенство сводится к $r^5 \le 0$, что означает $r \le 0$.При этом условии ($r \le 0$) преобразуем подкоренное выражение.Разложим число 162 и переменные на множители так, чтобы выделить степени, кратные 4:$162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$.$t^4$ уже является четвертой степенью.$r^5 = r^4 \cdot r$.Подставим это в выражение:$\sqrt[4]{-162t^4r^5} = \sqrt[4]{- (3^4 \cdot 2) \cdot t^4 \cdot (r^4 \cdot r)} = \sqrt[4]{3^4 \cdot t^4 \cdot r^4 \cdot (-2r)}$.Поскольку $r \le 0$, выражение $-2r \ge 0$, и корень определен.Теперь вынесем множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$:$\sqrt[4]{3^4 t^4 r^4 (-2r)} = |3| \cdot |t| \cdot |r| \cdot \sqrt[4]{-2r} = 3|t||r|\sqrt[4]{-2r}$.Так как по условию $r \le 0$, то $|r| = -r$.Подставляем это в полученное выражение:$3|t|(-r)\sqrt[4]{-2r} = -3|t|r\sqrt[4]{-2r}$.
Ответ: $-3|t|r\sqrt[4]{-2r}$ (выражение определено при $r \le 0$).

б) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{625x^5y^6}$ вынесем множители из-под знака корня. Показатель корня $n=3$ — нечетное число, поэтому выражение определено для любых действительных $x$ и $y$.Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны 3:$625 = 125 \cdot 5 = 5^3 \cdot 5$.$x^5 = x^3 \cdot x^2$.$y^6 = (y^2)^3$.Подставим это в исходное выражение:$\sqrt[3]{625x^5y^6} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5 \cdot x^3 \cdot x^2 \cdot (y^2)^3}$.Сгруппируем множители с показателем степени 3:$\sqrt[3]{(5^3 x^3 (y^2)^3) \cdot (5x^2)} = \sqrt[3]{(5xy^2)^3 \cdot 5x^2}$.Выносим множитель $(5xy^2)^3$ из-под знака корня. Так как корень нечетной степени, знак модуля не ставится:$5xy^2\sqrt[3]{5x^2}$.
Ответ: $5xy^2\sqrt[3]{5x^2}$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{128a^6b^9}$. Так как это квадратный корень (корень 2-й степени), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $128a^6b^9 \ge 0$.Поскольку $128 > 0$ и $a^6 = (a^3)^2 \ge 0$, для выполнения этого условия необходимо, чтобы $b^9 \ge 0$, что эквивалентно $b \ge 0$.Теперь упростим выражение, вынося множители из-под знака корня. Представим множители в виде степеней с показателем 2:$128 = 64 \cdot 2 = 8^2 \cdot 2$.$a^6 = (a^3)^2$.$b^9 = b^8 \cdot b = (b^4)^2 \cdot b$.Подставляем в корень:$\sqrt{128a^6b^9} = \sqrt{8^2 \cdot 2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2 \cdot b}$.Группируем полные квадраты:$\sqrt{(8^2 (a^3)^2 (b^4)^2) \cdot 2b} = \sqrt{(8a^3b^4)^2 \cdot 2b}$.Выносим множитель из-под корня, используя правило $\sqrt{X^2} = |X|$:$|8a^3b^4|\sqrt{2b}$.Раскроем модуль: $|8a^3b^4| = |8| \cdot |a^3| \cdot |b^4| = 8|a^3|b^4$, так как $b \ge 0$ и, следовательно, $b^4 \ge 0$.Окончательное выражение: $8|a^3|b^4\sqrt{2b}$.
Ответ: $8|a^3|b^4\sqrt{2b}$ (выражение определено при $b \ge 0$).

г) Упростим выражение $\sqrt[5]{-64m^6n^{16}}$. Показатель корня $n=5$ — нечетное число, поэтому подкоренное выражение может быть любого знака, и выражение определено для любых действительных $m$ и $n$.Вынесем множители из-под знака корня, представив их в виде степеней с показателем 5:$-64 = -32 \cdot 2 = (-2)^5 \cdot 2$.$m^6 = m^5 \cdot m$.$n^{16} = n^{15} \cdot n = (n^3)^5 \cdot n$.Подставим разложенные множители в исходное выражение:$\sqrt[5]{-64m^6n^{16}} = \sqrt[5]{(-2)^5 \cdot 2 \cdot m^5 \cdot m \cdot (n^3)^5 \cdot n}$.Сгруппируем множители со степенью 5:$\sqrt[5]{((-2)^5 m^5 (n^3)^5) \cdot (2mn)} = \sqrt[5]{(-2mn^3)^5 \cdot 2mn}$.Выносим множитель $(-2mn^3)^5$ из-под знака корня. Так как корень нечетной степени, знак модуля не ставится:$-2mn^3\sqrt[5]{2mn}$.
Ответ: $-2mn^3\sqrt[5]{2mn}$.