Номер 7.8, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.8, страница 39.

Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения:

7.8. а) $\sqrt{a^2b}$;

б) $\sqrt[3]{a^3b}$;

в) $\sqrt[4]{a^4b}$;

г) $\sqrt{a^5b}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня в выражении $ \sqrt{a^2b} $, воспользуемся свойством корней $ \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} $ и основным тождеством $ \sqrt{x^2} = |x| $. Подкоренное выражение $ a^2b $ должно быть неотрицательным. Так как $ a^2 \ge 0 $ для любого значения $ a $, то для существования корня необходимо, чтобы $ b \ge 0 $.
Преобразуем выражение:
$ \sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} $
Так как корень четной степени (квадратный), то $ \sqrt{a^2} = |a| $.
Следовательно, $ \sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b} $.
Ответ: $ |a|\sqrt{b} $

б) Рассмотрим выражение $ \sqrt[3]{a^3b} $. Корень нечетной степени (кубический) определен для любых действительных значений подкоренного выражения. Для вынесения множителя используем свойства $ \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y} $ и $ \sqrt[n]{x^n} = x $ для нечетного $ n $.
Преобразуем выражение:
$ \sqrt[3]{a^3b} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b} $
Так как степень корня нечетная, $ \sqrt[3]{a^3} = a $.
Следовательно, $ \sqrt[3]{a^3b} = a\sqrt[3]{b} $.
Ответ: $ a\sqrt[3]{b} $

в) В выражении $ \sqrt[4]{a^4b} $ корень четной степени (четвертой). Подкоренное выражение $ a^4b $ должно быть неотрицательным. Так как $ a^4 \ge 0 $ для любого $ a $, то должно выполняться условие $ b \ge 0 $.
Для вынесения множителя используем свойство $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $ для четного $ n $.
Преобразуем выражение:
$ \sqrt[4]{a^4b} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b} $
Так как степень корня четная, $ \sqrt[4]{a^4} = |a| $.
Следовательно, $ \sqrt[4]{a^4b} = |a|\sqrt[4]{b} $.
Ответ: $ |a|\sqrt[4]{b} $

г) Рассмотрим выражение $ \sqrt{a^5b} $. Это корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ a^5b \ge 0 $. Это означает, что переменные $ a $ и $ b $ должны иметь одинаковые знаки (либо обе неотрицательны, либо обе неположительны), чтобы их произведение $ ab \ge 0 $.
Чтобы вынести множитель, представим $ a^5 $ в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом: $ a^5 = a^4 \cdot a $.
$ \sqrt{a^5b} = \sqrt{a^4 \cdot a \cdot b} = \sqrt{a^4 \cdot (ab)} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{ab} $
Теперь упростим $ \sqrt{a^4} $:
$ \sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| $. Поскольку $ a^2 $ всегда неотрицательно, $ |a^2| = a^2 $.
Следовательно, $ \sqrt{a^5b} = a^2\sqrt{ab} $.
Ответ: $ a^2\sqrt{ab} $