Номер 7.6, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.6, страница 38.

7.6. a) $\sqrt{75t^4r^3}$;

б) $\sqrt[4]{256a^9b^{13}}$;

в) $\sqrt[3]{250x^4y^7}$;

г) $\sqrt[5]{320m^{11}n^{15}}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{75t^4r^3} $, необходимо разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы из некоторых из них можно было извлечь квадратный корень (то есть представить их в виде квадратов).
1. Разложим числовой коэффициент: $ 75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3 $.
2. Разложим степени переменных: $ t^4 = (t^2)^2 $; $ r^3 = r^2 \cdot r $.
3. Перепишем исходное выражение: $ \sqrt{75t^4r^3} = \sqrt{5^2 \cdot 3 \cdot (t^2)^2 \cdot r^2 \cdot r} $.
4. Сгруппируем множители, являющиеся точными квадратами: $ \sqrt{(5^2 \cdot (t^2)^2 \cdot r^2) \cdot (3r)} $.
5. Применяя свойство корня $ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, вынесем множители. Заметим, что для существования корня необходимо, чтобы $ r^3 \ge 0 $, что означает $ r \ge 0 $. Поэтому $ \sqrt{r^2} = |r| = r $.
$ \sqrt{5^2 \cdot (t^2)^2 \cdot r^2} \cdot \sqrt{3r} = 5 \cdot t^2 \cdot r \cdot \sqrt{3r} = 5t^2r\sqrt{3r} $.

Ответ: $ 5t^2r\sqrt{3r} $.

б) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt[4]{256a^9b^{13}} $, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся точными четвертыми степенями.
1. Разложим числовой коэффициент: $ 256 = 4^4 $.
2. Разложим степени переменных, выделив степени, кратные 4: $ a^9 = a^8 \cdot a = (a^2)^4 \cdot a $; $ b^{13} = b^{12} \cdot b = (b^3)^4 \cdot b $.
3. Перепишем выражение: $ \sqrt[4]{256a^9b^{13}} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (a^2)^4 \cdot a \cdot (b^3)^4 \cdot b} $.
4. Сгруппируем и вынесем множители из-под корня. Поскольку корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $ a^9b^{13} \ge 0 $. Это возможно, если $ a \ge 0 $ и $ b \ge 0 $ (или $ a \le 0 $ и $ b \le 0 $). В школьном курсе обычно предполагается, что переменные неотрицательны, поэтому $ \sqrt[4]{(a^2)^4}=a^2 $ и $ \sqrt[4]{(b^3)^4}=b^3 $.
$ \sqrt[4]{(4^4 \cdot (a^2)^4 \cdot (b^3)^4) \cdot (ab)} = 4a^2b^3\sqrt[4]{ab} $.

Ответ: $ 4a^2b^3\sqrt[4]{ab} $.

в) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt[3]{250x^4y^7} $, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся точными кубами.
1. Разложим числовой коэффициент: $ 250 = 125 \cdot 2 = 5^3 \cdot 2 $.
2. Разложим степени переменных, выделив степени, кратные 3: $ x^4 = x^3 \cdot x $; $ y^7 = y^6 \cdot y = (y^2)^3 \cdot y $.
3. Перепишем выражение: $ \sqrt[3]{250x^4y^7} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2 \cdot x^3 \cdot x \cdot (y^2)^3 \cdot y} $.
4. Сгруппируем и вынесем множители. Для корня нечетной степени нет ограничений на знак подкоренного выражения.
$ \sqrt[3]{(5^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3) \cdot (2xy)} = 5 \cdot x \cdot y^2 \cdot \sqrt[3]{2xy} = 5xy^2\sqrt[3]{2xy} $.

Ответ: $ 5xy^2\sqrt[3]{2xy} $.

г) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt[5]{320m^{11}n^{15}} $, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся точными пятыми степенями.
1. Разложим числовой коэффициент: $ 320 = 32 \cdot 10 = 2^5 \cdot 10 $.
2. Разложим степени переменных, выделив степени, кратные 5: $ m^{11} = m^{10} \cdot m = (m^2)^5 \cdot m $; $ n^{15} = (n^3)^5 $.
3. Перепишем выражение: $ \sqrt[5]{320m^{11}n^{15}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 10 \cdot (m^2)^5 \cdot m \cdot (n^3)^5} $.
4. Сгруппируем и вынесем множители. Корень нечетной степени, поэтому ограничений на знак нет.
$ \sqrt[5]{(2^5 \cdot (m^2)^5 \cdot (n^3)^5) \cdot (10m)} = 2 \cdot m^2 \cdot n^3 \cdot \sqrt[5]{10m} = 2m^2n^3\sqrt[5]{10m} $.

Ответ: $ 2m^2n^3\sqrt[5]{10m} $.