Номер 6.32, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.32, страница 38.

6.32. Постройте график функции:

а) $y = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$;

б) $y = \sqrt[5]{(2 - x)^5}$;

в) $y = \sqrt[3]{(x + 1)^3}$;

г) $y = \sqrt[6]{(3 - x)^6}$.

а) $y = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$

Для построения графика данной функции воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$ для любого действительного числа $a$, где $k$ — натуральное число. В данном случае показатель корня и степень подкоренного выражения равны 4 (четное число), поэтому функция принимает вид:

$y = |x - 2|$

График этой функции получается из графика функции $y = |x|$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. График представляет собой объединение двух лучей, выходящих из одной точки — вершины.

Вершина графика находится в точке, где выражение под знаком модуля равно нулю: $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Координаты вершины: $(2, 0)$.

График состоит из двух частей:

1. При $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, модуль раскрывается со знаком плюс: $y = x - 2$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(3, 1)$.
2. При $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$, модуль раскрывается со знаком минус: $y = -(x - 2) = 2 - x$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(1, 1)$.

Ответ: График функции — это объединение двух лучей $y = x - 2$ при $x \ge 2$ и $y = 2 - x$ при $x < 2$. Вершина графика находится в точке $(2, 0)$.

б) $y = \sqrt[5]{(2 - x)^5}$

Воспользуемся свойством корня нечетной степени: $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$ для любого действительного числа $a$, где $k$ — целое неотрицательное число. В данном случае показатель корня и степень подкоренного выражения равны 5 (нечетное число), поэтому функция упрощается до:

$y = 2 - x$

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти две точки.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. Если $x = 0$, то $y = 2 - 0 = 2$. Точка $(0, 2)$.
2. Если $y = 0$, то $0 = 2 - x$, откуда $x = 2$. Точка $(2, 0)$.

Проводим прямую через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: График функции — это прямая линия, заданная уравнением $y = 2 - x$, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

в) $y = \sqrt[3]{(x + 1)^3}$

Показатель корня и степень подкоренного выражения равны 3 (нечетное число). Используя свойство $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$, упрощаем функцию:

$y = x + 1$

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой найдем две точки.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. Если $x = 0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
2. Если $y = 0$, то $0 = x + 1$, откуда $x = -1$. Точка $(-1, 0)$.

Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: График функции — это прямая линия, заданная уравнением $y = x + 1$, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

г) $y = \sqrt[6]{(3 - x)^6}$

Показатель корня и степень подкоренного выражения равны 6 (четное число). Используя свойство $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$, получаем:

$y = |3 - x|$

Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, можем переписать функцию в более привычном виде: $y = |-(x - 3)| = |x - 3|$.

График этой функции получается из графика функции $y = |x|$ путем сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс. График представляет собой объединение двух лучей с общей вершиной.

Вершина графика находится в точке, где $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$. Координаты вершины: $(3, 0)$.

График состоит из двух частей:

1. При $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$, модуль раскрывается со знаком плюс: $y = x - 3$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(4, 1)$.
2. При $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$, модуль раскрывается со знаком минус: $y = -(x - 3) = 3 - x$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(2, 1)$.

Ответ: График функции — это объединение двух лучей $y = x - 3$ при $x \ge 3$ и $y = 3 - x$ при $x < 3$. Вершина графика находится в точке $(3, 0)$.