Номер 6.29, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.29, страница 38.

6.29. Докажите, что $2f(x) = f(128x)$, если $f(x) = \sqrt[7]{x}$.

Для доказательства тождества $2f(x) = f(128x)$ при условии, что $f(x) = \sqrt[7]{x}$, преобразуем обе части равенства.

1. Левая часть равенства:

Левая часть имеет вид $2f(x)$. Подставим в нее определение функции $f(x)$:

$2f(x) = 2 \cdot \sqrt[7]{x}$

2. Правая часть равенства:

Правая часть имеет вид $f(128x)$. Чтобы найти ее значение, нужно подставить аргумент $128x$ в определение функции $f(x)$:

$f(128x) = \sqrt[7]{128x}$

Используем свойство корня произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[7]{128x} = \sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[7]{x}$

Теперь вычислим значение $\sqrt[7]{128}$. Нам нужно найти число, которое в 7-й степени равно 128. Это число 2, поскольку:

$2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$

Следовательно, $\sqrt[7]{128} = 2$.

Подставим это значение обратно в выражение для правой части:

$f(128x) = 2 \cdot \sqrt[7]{x}$

3. Сравнение частей:

Мы получили, что левая часть равна $2\sqrt[7]{x}$ и правая часть равна $2\sqrt[7]{x}$.

$2\sqrt[7]{x} = 2\sqrt[7]{x}$

Так как левая и правая части равенства тождественно равны, исходное утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.