Номер 6.28, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Свойства корня n-й степени. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 6.28, страница 38.

6.28. a) $\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[6]{x} = 0;$

Б) $\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0;$

В) $\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} - 1 = 0;$

Г) $\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[6]{x} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием корня четной (шестой) степени, поэтому $x \ge 0$.

Представим $\sqrt[3]{x}$ как $(\sqrt[6]{x})^2$. Уравнение примет вид: $(\sqrt[6]{x})^2 - 2\sqrt[6]{x} = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Так как корень четной степени не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $t^2 - 2t = 0$.

Вынесем $t$ за скобки: $t(t-2) = 0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ или $t_2 = 2$.

Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t=0$, то $\sqrt[6]{x} = 0$. Возведя обе части в шестую степень, получаем $x=0$.

2) Если $t=2$, то $\sqrt[6]{x} = 2$. Возведя обе части в шестую степень, получаем $x = 2^6 = 64$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: 0; 64.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$ из-за корней четной степени.

Представим $\sqrt{x}$ как $(\sqrt[4]{x})^2$. Уравнение примет вид: $(\sqrt[4]{x})^2 - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$, при этом $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 5t + 6 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t=2$, то $\sqrt[4]{x} = 2$. Возведя обе части в четвертую степень, получаем $x = 2^4 = 16$.

2) Если $t=3$, то $\sqrt[4]{x} = 3$. Возведя обе части в четвертую степень, получаем $x = 3^4 = 81$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: 16; 81.

в) Исходное уравнение: $\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} - 1 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Представим $\sqrt[3]{x}$ как $(\sqrt[6]{x})^2$. Перепишем уравнение: $2(\sqrt[6]{x})^2 + \sqrt[6]{x} - 1 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + t - 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения: $t = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{-1-3}{4} = -1$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

$t_2 = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Этот корень подходит.

Выполним обратную замену для $t = \frac{1}{2}$:

$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2}$. Возведя обе части в шестую степень, получаем $x = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.

Корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{64}$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Представим $\sqrt[4]{x}$ как $(\sqrt[8]{x})^2$. Уравнение примет вид: $(\sqrt[8]{x})^2 + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[8]{x}$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 + 2t - 3 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = -3$ и $t_2 = 1$.

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = 1$ подходит.

Выполним обратную замену для $t = 1$:

$\sqrt[8]{x} = 1$. Возведя обе части в восьмую степень, получаем $x = 1^8 = 1$.

Корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: 1.