Номер 7.1, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.1, страница 38.

Вынесите множитель из-под знака корня:

7.1. a) $\sqrt{20}$; б) $\sqrt{147}$; в) $\sqrt{108}$; г) $\sqrt{245}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{20}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным квадратом.
Разложим число 20 на множители: $20 = 4 \cdot 5$. Число 4 является квадратом числа 2 ($2^2=4$).
Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5}$.
Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5}$.
Так как $\sqrt{4} = 2$, то выражение упрощается до $2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{147}$, найдем наибольший делитель числа 147, который является точным квадратом.
Разложим число 147 на простые множители. Заметим, что сумма цифр числа 147 равна $1+4+7=12$, что делится на 3, значит и само число делится на 3.
$147 = 3 \cdot 49$.
Число 49 является точным квадратом, так как $49 = 7^2$.
Следовательно, мы можем переписать исходное выражение:
$\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3}$.
Применяя свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{49 \cdot 3} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{3}$.
Поскольку $\sqrt{49} = 7$, получаем $7\sqrt{3}$.
Ответ: $7\sqrt{3}$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{108}$. Чтобы вынести множитель, разложим число 108 на множители, один из которых является наибольшим возможным точным квадратом.
Проведем факторизацию числа 108. Можно последовательно делить на известные квадраты (4, 9, 16, ...). 108 делится на 4: $108 = 4 \cdot 27$. Также 108 делится на 9: $108 = 9 \cdot 12$. Наибольший квадрат, который делит 108, это 36.
$108 = 36 \cdot 3$.
Подставим это в корень:
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3}$.
Так как $\sqrt{36} = 6$, получаем результат $6\sqrt{3}$.
Ответ: $6\sqrt{3}$.

г) Для вынесения множителя из-под знака корня в выражении $\sqrt{245}$, необходимо разложить подкоренное число 245 на множители.
Найдем множители числа 245. Так как число заканчивается на 5, оно делится на 5.
$245 \div 5 = 49$.
Таким образом, $245 = 5 \cdot 49$.
Множитель 49 является точным квадратом, поскольку $49 = 7^2$.
Теперь мы можем переписать исходное выражение:
$\sqrt{245} = \sqrt{49 \cdot 5}$.
Воспользуемся свойством квадратного корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{49 \cdot 5} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{5}$.
Вычисляем корень из 49: $\sqrt{49} = 7$.
В итоге получаем $7\sqrt{5}$.
Ответ: $7\sqrt{5}$.