Номер 7.14, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.14, страница 39.

7.14. а) $\frac{2}{3} \cdot \sqrt{3}$;

б) $\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{12}$;

В) $1\frac{2}{5} \cdot \sqrt{3\frac{4}{7}}$;В

Г) $0,2 \cdot \sqrt[3]{25}$.

а) Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня (в данном случае 2, так как корень квадратный), и умножить на подкоренное выражение.
$\frac{2}{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 3} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 3} = \sqrt{\frac{12}{9}}$
Сократим дробь под корнем:
$\sqrt{\frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$
Ответ: $\sqrt{\frac{4}{3}}$.

б) Чтобы внести множитель под знак кубического корня, необходимо возвести множитель в третью степень и умножить на подкоренное выражение.
$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{(\frac{1}{2})^3 \cdot 12} = \sqrt[3]{\frac{1}{8} \cdot 12} = \sqrt[3]{\frac{12}{8}}$
Сократим дробь под корнем:
$\sqrt[3]{\frac{12}{8}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}} = \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$.

в) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$
$3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}$
Теперь выражение имеет вид: $\frac{7}{5} \cdot \sqrt{\frac{25}{7}}$.
Внесем множитель $\frac{7}{5}$ под знак квадратного корня, возведя его в квадрат.
$\sqrt{(\frac{7}{5})^2 \cdot \frac{25}{7}} = \sqrt{\frac{49}{25} \cdot \frac{25}{7}}$
Выполним умножение и сокращение под корнем:
$\sqrt{\frac{49 \cdot 25}{25 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}$
Ответ: $\sqrt{7}$.

г) Сначала представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной дроби.
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Теперь выражение имеет вид: $\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{25}$.
Внесем множитель $\frac{1}{5}$ под знак кубического корня, возведя его в куб.
$\sqrt[3]{(\frac{1}{5})^3 \cdot 25} = \sqrt[3]{\frac{1}{125} \cdot 25} = \sqrt[3]{\frac{25}{125}}$
Сократим дробь под корнем:
$\sqrt[3]{\frac{25}{125}} = \sqrt[3]{\frac{1}{5}}$
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{1}{5}}$.