Номер 7.18, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.18, страница 40.

7.18. a) $\sqrt[9]{-\sqrt[5]{-a^{25}}}$;

б) $\sqrt{\frac{m-n}{m+n}} \sqrt{\frac{m+n}{m-n}}$;

B) $\sqrt[3]{-2a^2b} \cdot \sqrt[4]{5a^3}$;

Г) $\sqrt[5]{(x-y)^3} \sqrt[3]{\frac{1}{y-x}}$.

а) Упростим выражение $\sqrt[9]{-\sqrt[5]{-a^{25}}}$.
Начнем с внутреннего корня $\sqrt[5]{-a^{25}}$. Так как показатель корня (5) нечетный, мы можем вынести знак минус из-под знака корня:
$\sqrt[5]{-a^{25}} = -\sqrt[5]{a^{25}}$
Теперь вычислим корень из $a^{25}$. Используем свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ и определение корня $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$:
$\sqrt[5]{a^{25}} = (a^{25})^{1/5} = a^{25/5} = a^5$
Таким образом, выражение под внешним корнем равно $-(-a^5) = a^5$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$\sqrt[9]{-(-a^5)} = \sqrt[9]{a^5}$
Ответ: $\sqrt[9]{a^5}$.

б) Упростим выражение $\sqrt{\frac{m-n}{m+n}\sqrt{\frac{m+n}{m-n}}}$.
Для существования выражения необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. В частности, $\frac{m+n}{m-n} \ge 0$, что также означает, что и обратная дробь $\frac{m-n}{m+n}$ неотрицательна. Кроме того, знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $\frac{m+n}{m-n} > 0$.
Внесем множитель $\frac{m-n}{m+n}$ под знак внутреннего корня. Так как мы установили, что этот множитель положителен, мы можем внести его, возведя в квадрат:
$\sqrt{\sqrt{\left(\frac{m-n}{m+n}\right)^2 \cdot \frac{m+n}{m-n}}}$
Упростим выражение под внутренним корнем:
$\left(\frac{m-n}{m+n}\right)^2 \cdot \frac{m+n}{m-n} = \frac{(m-n)^2}{(m+n)^2} \cdot \frac{m+n}{m-n} = \frac{m-n}{m+n}$
Теперь исходное выражение имеет вид:
$\sqrt{\sqrt{\frac{m-n}{m+n}}}$
Используя свойство корней $\sqrt[k]{\sqrt[l]{x}} = \sqrt[kl]{x}$, получаем:
$\sqrt[2 \cdot 2]{\frac{m-n}{m+n}} = \sqrt[4]{\frac{m-n}{m+n}}$
Ответ: $\sqrt[4]{\frac{m-n}{m+n}}$.

в) Упростим произведение корней $\sqrt[3]{-2a^2b} \cdot \sqrt[4]{5a^3}$.
Для того чтобы перемножить корни с разными показателями (3 и 4), приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 3 и 4 это 12.
1. Преобразуем первый корень:
$\sqrt[3]{-2a^2b} = \sqrt[3 \cdot 4]{(-2a^2b)^4} = \sqrt[12]{(-2)^4 (a^2)^4 b^4} = \sqrt[12]{16a^8b^4}$
2. Преобразуем второй корень. Заметим, что для существования корня четной степени $\sqrt[4]{5a^3}$, необходимо, чтобы $5a^3 \ge 0$, откуда следует, что $a \ge 0$.
$\sqrt[4]{5a^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{(5a^3)^3} = \sqrt[12]{5^3 (a^3)^3} = \sqrt[12]{125a^9}$
3. Теперь перемножим полученные корни:
$\sqrt[12]{16a^8b^4} \cdot \sqrt[12]{125a^9} = \sqrt[12]{(16a^8b^4) \cdot (125a^9)} = \sqrt[12]{16 \cdot 125 \cdot a^{8+9} \cdot b^4} = \sqrt[12]{2000a^{17}b^4}$
4. Упростим, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt[12]{2000a^{17}b^4} = \sqrt[12]{2000 \cdot a^{12} \cdot a^5 \cdot b^4} = \sqrt[12]{a^{12}} \cdot \sqrt[12]{2000a^5b^4}$
Так как $a \ge 0$, то $\sqrt[12]{a^{12}} = a$.
$a\sqrt[12]{2000a^5b^4}$
Ответ: $a\sqrt[12]{2000a^5b^4}$.

г) Упростим выражение $\sqrt[5]{(x-y)^3 \sqrt[3]{\frac{1}{y-x}}}$.
Выражение определено при $y-x \ne 0$, т.е. $y \ne x$.
Внесем множитель $(x-y)^3$ под знак внутреннего кубического корня. Для этого нужно возвести множитель в куб:
$\sqrt[5]{\sqrt[3]{((x-y)^3)^3 \cdot \frac{1}{y-x}}}$
Упростим выражение под внутренним корнем. Заметим, что $y-x = -(x-y)$:
$((x-y)^3)^3 \cdot \frac{1}{y-x} = (x-y)^9 \cdot \frac{1}{-(x-y)} = -\frac{(x-y)^9}{x-y} = -(x-y)^8$
Исходное выражение принимает вид:
$\sqrt[5]{\sqrt[3]{-(x-y)^8}}$
Используя свойство $\sqrt[k]{\sqrt[l]{A}} = \sqrt[kl]{A}$, объединим корни:
$\sqrt[5 \cdot 3]{-(x-y)^8} = \sqrt[15]{-(x-y)^8}$
Поскольку показатель корня (15) нечетный, знак минус можно вынести за знак корня:
$\sqrt[15]{-1 \cdot (x-y)^8} = \sqrt[15]{-1} \cdot \sqrt[15]{(x-y)^8} = -\sqrt[15]{(x-y)^8}$
Ответ: $-\sqrt[15]{(x-y)^8}$.