Номер 7.23, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.23, страница 40.

7.23. a) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y);$

б) $(3 + \sqrt[4]{a})(9 - 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a});$

в) $(2\sqrt{p} + \sqrt{q})(4p - 2\sqrt{pq} + q);$

г) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}).$

а) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt{x})^2 = x$, $b^2 = (\sqrt{y})^2 = y$, и $ab = \sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}$.

Подставив эти значения в исходное выражение, мы видим, что оно в точности соответствует левой части формулы:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)$

Следовательно, результат равен $a^3 + b^3$.

Вычислим $a^3$ и $b^3$:

$a^3 = (\sqrt{x})^3 = \sqrt{x^3} = x\sqrt{x}$

$b^3 = (\sqrt{y})^3 = \sqrt{y^3} = y\sqrt{y}$

Таким образом, итоговое выражение равно $x\sqrt{x} + y\sqrt{y}$.

Ответ: $x\sqrt{x} + y\sqrt{y}$

б) $(3 + \sqrt[4]{a})(9 - 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a})$

Этот пример также можно решить с помощью формулы суммы кубов: $(A+B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3$.

Пусть $A = 3$ и $B = \sqrt[4]{a}$.

Проверим соответствие членов во второй скобке:

$A^2 = 3^2 = 9$

$B^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = \sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a}$

$AB = 3 \cdot \sqrt[4]{a}$

Выражение полностью соответствует формуле суммы кубов.

Результат равен $A^3 + B^3$.

Вычислим $A^3$ и $B^3$:

$A^3 = 3^3 = 27$

$B^3 = (\sqrt[4]{a})^3 = \sqrt[4]{a^3}$

Итак, исходное выражение равно $27 + \sqrt[4]{a^3}$.

Ответ: $27 + \sqrt[4]{a^3}$

в) $(2\sqrt{p} + \sqrt{q})(4p - 2\sqrt{pq} + q)$

И в этом случае применима формула суммы кубов: $(A+B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3$.

Обозначим $A = 2\sqrt{p}$ и $B = \sqrt{q}$.

Проверим члены во второй скобке:

$A^2 = (2\sqrt{p})^2 = 4p$

$B^2 = (\sqrt{q})^2 = q$

$AB = 2\sqrt{p} \cdot \sqrt{q} = 2\sqrt{pq}$

Выражение является суммой кубов.

Результат равен $A^3 + B^3$.

Вычислим $A^3$ и $B^3$:

$A^3 = (2\sqrt{p})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{p})^3 = 8p\sqrt{p}$

$B^3 = (\sqrt{q})^3 = q\sqrt{q}$

Таким образом, результат умножения равен $8p\sqrt{p} + q\sqrt{q}$.

Ответ: $8p\sqrt{p} + q\sqrt{q}$

г) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})$

Для решения этого примера воспользуемся формулой разности кубов: $(x-y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$.

Сделаем замену переменных. Пусть $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$.

Тогда:

$x^2 = (\sqrt[6]{a})^2 = \sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$

$y^2 = (\sqrt[6]{b})^2 = \sqrt[6]{b^2} = \sqrt[3]{b}$

$xy = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{ab}$

Подставим эти значения в исходное выражение, поменяв множители местами для наглядности:

$(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}) = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Это соответствует формуле разности кубов, и результат равен $x^3 - y^3$.

Вычислим $x^3$ и $y^3$:

$x^3 = (\sqrt[6]{a})^3 = \sqrt[6]{a^3} = \sqrt{a}$

$y^3 = (\sqrt[6]{b})^3 = \sqrt[6]{b^3} = \sqrt{b}$

Следовательно, результат выражения равен $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$