Номер 7.29, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.29, страница 41.

7.29. a) $\frac{\sqrt{a} - 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$;

б) $\frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}}$;

в) $\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b}$;

г) $\frac{\sqrt{b} + 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$.

а) Рассмотрим выражение: $ \frac{\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}} $
Числитель дроби представляет собой полный квадрат разности. Заметим, что $ \sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2 $ и $ \sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{b})^2 $.
Таким образом, числитель можно переписать в виде: $ (\sqrt[4]{a})^2 - 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})^2 $
Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $ \frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}} $
При условии, что $ \sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b} \neq 0 $, мы можем сократить дробь на $ (\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}) $.
$ \sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b} $
Ответ: $ \sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b} $

б) Рассмотрим выражение: $ \frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{\sqrt{4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}}} $
Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе: $ 4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2} $.
Перепишем его, изменив порядок слагаемых: $ \sqrt[3]{m^2} + 4\sqrt[3]{mn} + 4\sqrt[3]{n^2} $.
Это выражение является полным квадратом суммы. Заметим, что $ \sqrt[3]{m^2} = (\sqrt[3]{m})^2 $ и $ 4\sqrt[3]{n^2} = (2\sqrt[3]{n})^2 $. Средний член $ 4\sqrt[3]{mn} = 2 \cdot (\sqrt[3]{m}) \cdot (2\sqrt[3]{n}) $.
Следовательно, подкоренное выражение равно $ (\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})^2 $.
Знаменатель принимает вид: $ \sqrt{(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})^2} = |\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}| $.
Всё выражение становится: $ \frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{|\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}|} $
В подобных задачах обычно предполагается, что выражения под знаком модуля положительны. Если $ \sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n} > 0 $, то $ |\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}| = \sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n} $, и выражение равно 1.
Ответ: $1$

в) Рассмотрим выражение: $ \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b} $
Знаменатель дроби представляет собой полный квадрат суммы. Заметим, что $ \sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2 $ и $ b = (\sqrt{b})^2 $.
Проверим средний член: $ 2\sqrt[4]{a}\sqrt{b} = 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b^2} = 2\sqrt[4]{ab^2} $. Он совпадает со средним членом в знаменателе.
Таким образом, знаменатель можно записать как: $ (\sqrt[4]{a})^2 + 2\sqrt[4]{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2 $
Подставим это в исходное выражение: $ \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2} $
При условии, что $ a, b \ge 0 $ и не равны нулю одновременно, $ \sqrt[4]{a} + \sqrt{b} \neq 0 $, и мы можем сократить дробь.
$ \frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}} $
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}} $

г) Рассмотрим выражение: $ \frac{\sqrt{b} + 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}} $
Числитель дроби представляет собой полный квадрат суммы. Давайте проверим это.
Заметим, что $ \sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2 $ и $ a^3 = (a^{3/2})^2 = (a\sqrt{a})^2 $.
Теперь проверим средний член. Если наши слагаемые - это $ \sqrt[4]{b} $ и $ a\sqrt{a} $, то удвоенное произведение будет: $ 2 \cdot \sqrt[4]{b} \cdot a\sqrt{a} = 2a\sqrt{a}\sqrt[4]{b} = 2a \cdot a^{1/2} \cdot b^{1/4} = 2a^{3/2}b^{1/4} $
Преобразуем средний член из условия: $ 2a\sqrt[4]{a^2b} = 2a(a^2b)^{1/4} = 2a \cdot a^{2/4} \cdot b^{1/4} = 2a \cdot a^{1/2} \cdot b^{1/4} = 2a^{3/2}b^{1/4} $
Средние члены совпадают. Следовательно, числитель равен $ (\sqrt[4]{b} + a\sqrt{a})^2 $.
Подставим это в исходное выражение: $ \frac{(\sqrt[4]{b} + a\sqrt{a})^2}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}} $
Сократив дробь на $ (a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}) $, получим: $ a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b} $
Ответ: $ a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b} $