Номер 7.31, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.31, страница 42.

7.31. Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения:

а) $\frac{6\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} - 1}{2\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}}$;

б) $\frac{3\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} - 2}{9\sqrt{x} - 1}$.

а)
Дана дробь $\frac{6\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} - 1}{2\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}}$.
Для упрощения выражения введем замену. Пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Поскольку по условию переменная $x$ принимает неотрицательные значения ($x \ge 0$), то и $y \ge 0$. Тогда $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 = y^2$.
Подставим новую переменную в исходную дробь:
$\frac{6y^2 + y - 1}{2y^2 + y}$
Теперь разложим на множители числитель и знаменатель.
Знаменатель: $2y^2 + y = y(2y + 1)$.
Числитель: $6y^2 + y - 1$. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $6y^2 + y - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$
Тогда разложение числителя на множители имеет вид:
$6y^2 + y - 1 = 6(y - \frac{1}{3})(y - (-\frac{1}{2})) = 6(y - \frac{1}{3})(y + \frac{1}{2}) = 3(y - \frac{1}{3}) \cdot 2(y + \frac{1}{2}) = (3y - 1)(2y + 1)$.
Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{(3y - 1)(2y + 1)}{y(2y + 1)}$
Сократим общий множитель $(2y + 1)$. Это можно сделать, так как $y = \sqrt[3]{x} \ge 0$, и значит $2y + 1 \ge 1$, то есть множитель не равен нулю.
После сокращения получаем:
$\frac{3y - 1}{y}$
Теперь выполним обратную замену, подставив $y = \sqrt[3]{x}$:
$\frac{3\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}$
Ответ: $\frac{3\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}$

б)
Дана дробь $\frac{3\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} - 2}{9\sqrt{x} - 1}$.
Для упрощения введем замену. Пусть $z = \sqrt[4]{x}$. Так как $x \ge 0$, то $z \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = z^2$.
Подставим новую переменную в исходное выражение:
$\frac{3z^2 - 5z - 2}{9z^2 - 1}$
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Знаменатель представляет собой разность квадратов: $9z^2 - 1 = (3z)^2 - 1^2 = (3z - 1)(3z + 1)$.
Для разложения числителя $3z^2 - 5z - 2$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3z^2 - 5z - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения:
$z_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$z_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Следовательно, разложение числителя на множители:
$3z^2 - 5z - 2 = 3(z - 2)(z - (-\frac{1}{3})) = 3(z - 2)(z + \frac{1}{3}) = (z - 2)(3z + 1)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(z - 2)(3z + 1)}{(3z - 1)(3z + 1)}$
Сократим на общий множитель $(3z + 1)$. Это возможно, так как $z = \sqrt[4]{x} \ge 0$, и значит $3z + 1 \ge 1$, поэтому множитель не равен нулю.
После сокращения получаем:
$\frac{z - 2}{3z - 1}$
Выполним обратную замену, подставив $z = \sqrt[4]{x}$:
$\frac{\sqrt[4]{x} - 2}{3\sqrt[4]{x} - 1}$
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{x} - 2}{3\sqrt[4]{x} - 1}$