Номер 7.38, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.38, страница 42.

○7.38.

a) $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}};$

б) $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}}.$

a)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}} $, необходимо последовательно умножать числитель и знаменатель на сопряженные выражения.

Сначала сгруппируем слагаемые в знаменателе: $ (\sqrt{a} + \sqrt{b}) + \sqrt{c} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{a} + \sqrt{b}) - \sqrt{c} $:

$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c})}{((\sqrt{a} + \sqrt{b}) + \sqrt{c})((\sqrt{a} + \sqrt{b}) - \sqrt{c})} $

Применим формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $ к знаменателю:

$ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{c})^2} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{a + 2\sqrt{ab} + b - c} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{(a+b-c) + 2\sqrt{ab}} $

Теперь в знаменателе осталось одно иррациональное слагаемое. Снова умножим числитель и знаменатель на сопряженное к новому знаменателю выражение $ (a+b-c) - 2\sqrt{ab} $:

$ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c}) \cdot ((a+b-c) - 2\sqrt{ab})}{((a+b-c) + 2\sqrt{ab}) \cdot ((a+b-c) - 2\sqrt{ab})} $

Снова применим формулу разности квадратов к знаменателю:

Знаменатель: $ (a+b-c)^2 - (2\sqrt{ab})^2 = (a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc) - 4ab = a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc $.

Числитель остается в виде произведения: $ (\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab}) $.

Таким образом, итоговое выражение:

$ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})}{a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc} $

Ответ: $ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})}{a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc} $.

б)

Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}} $ сгруппируем слагаемые так, чтобы упростить вычисления. Запишем знаменатель в виде $ (\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{5} $. Такая группировка выгодна, так как $ (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 2 + 3 - 5 = 0 $, что упростит знаменатель после первого шага.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5} $:

$ \frac{1}{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{5}} \cdot \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} $

Упростим знаменатель, используя формулу квадрата разности и разности квадратов:

$ (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = (2 - 2\sqrt{6} + 3) - 5 = (5 - 2\sqrt{6}) - 5 = -2\sqrt{6} $

Теперь дробь имеет вид:

$ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{-2\sqrt{6}} $

Чтобы завершить избавление от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{6} $:

$ \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{6}}{-2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{6} - \sqrt{3}\sqrt{6} - \sqrt{5}\sqrt{6}}{-2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18} - \sqrt{30}}{-12} $

Упростим корни в числителе:

$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $
$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $

Подставим упрощенные значения обратно в дробь:

$ \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{-12} $

Чтобы сделать знаменатель положительным, умножим числитель и знаменатель на -1:

$ \frac{-(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{30})}{12} = \frac{-2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{30}}{12} $

Запишем слагаемые в числителе в более привычном порядке:

$ \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{30}}{12} $

Ответ: $ \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{30}}{12} $.