Номер 7.45, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.45, страница 43.

7.45. а) $\sqrt[4]{17 + \sqrt{288}}$;
б) $\sqrt[4]{28 - 16\sqrt{3}}$.

a) Упростим выражение $\sqrt[4]{17 + \sqrt{288}}$.

Воспользуемся свойством корня $\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}$. Таким образом, наше выражение можно переписать как $\sqrt{\sqrt{17 + \sqrt{288}}}$.

Сначала упростим внутренний радикал $\sqrt{17 + \sqrt{288}}$. Для этого преобразуем число под корнем.

Упростим $\sqrt{288}$: $\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$.

Тогда выражение под внутренним корнем становится $17 + 12\sqrt{2}$.

Теперь попытаемся представить $17 + 12\sqrt{2}$ в виде полного квадрата суммы $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$. Для этого приведем наше выражение к виду $X + 2\sqrt{Y}$:

$17 + 12\sqrt{2} = 17 + 2 \cdot 6\sqrt{2} = 17 + 2\sqrt{36 \cdot 2} = 17 + 2\sqrt{72}$.

Сравнивая с формулой $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$, получаем систему уравнений:

$a + b = 17$

$ab = 72$

Подбором или решая квадратное уравнение $t^2 - 17t + 72 = 0$, находим числа $a=9$ и $b=8$.

Таким образом, $17 + 12\sqrt{2} = 9 + 8 + 2\sqrt{9 \cdot 8} = (\sqrt{9} + \sqrt{8})^2 = (3 + 2\sqrt{2})^2$.

Теперь можем упростить внутренний корень:

$\sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + 2\sqrt{2})^2} = 3 + 2\sqrt{2}$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt[4]{17 + \sqrt{288}} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$.

Снова применяем тот же метод для упрощения $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a+b=3$ и $ab=2$. Очевидно, что $a=2$ и $b=1$.

Следовательно, $3 + 2\sqrt{2} = 2 + 1 + 2\sqrt{2 \cdot 1} = (\sqrt{2} + \sqrt{1})^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$.

Окончательно получаем:

$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1$.

Ответ: $\sqrt{2} + 1$.

б) Упростим выражение $\sqrt[4]{28 - 16\sqrt{3}}$.

Представим выражение в виде $\sqrt{\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}}$.

Упростим внутренний радикал $\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}$. Для этого представим подкоренное выражение $28 - 16\sqrt{3}$ в виде полного квадрата разности $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$.

Приведем наше выражение к виду $X - 2\sqrt{Y}$:

$28 - 16\sqrt{3} = 28 - 2 \cdot 8\sqrt{3} = 28 - 2\sqrt{64 \cdot 3} = 28 - 2\sqrt{192}$.

Сравнивая с формулой $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$, получаем систему уравнений:

$a + b = 28$

$ab = 192$

Решим квадратное уравнение $t^2 - 28t + 192 = 0$. Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 784 - 768 = 16$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{28 + \sqrt{16}}{2} = \frac{28 + 4}{2} = 16$ и $t_2 = \frac{28 - 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Пусть $a=16$ и $b=12$. Тогда:

$28 - 16\sqrt{3} = 16 + 12 - 2\sqrt{16 \cdot 12} = (\sqrt{16} - \sqrt{12})^2 = (4 - 2\sqrt{3})^2$.

Теперь можем упростить внутренний корень:

$\sqrt{28 - 16\sqrt{3}} = \sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2} = 4 - 2\sqrt{3}$ (так как $4 = \sqrt{16} > \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, то $4 - 2\sqrt{3} > 0$).

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt[4]{28 - 16\sqrt{3}} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$.

Снова применяем метод выделения полного квадрата. Для $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ ищем $a$ и $b$ такие, что $a+b=4$ и $ab=3$. Очевидно, что $a=3$ и $b=1$.

Следовательно, $4 - 2\sqrt{3} = 3 + 1 - 2\sqrt{3 \cdot 1} = (\sqrt{3} - \sqrt{1})^2 = (\sqrt{3} - 1)^2$.

Окончательно получаем:

$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1$ (так как $\sqrt{3} > 1$, то $\sqrt{3} - 1 > 0$).

Ответ: $\sqrt{3} - 1$.