Номер 7.51, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.51, страница 44.

7.51. a) $\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} = 2;$

б) $\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}} = 3.$

a) Докажем данное тождество. Для этого преобразуем выражения, стоящие под знаками кубических корней, представив их в виде полных кубов.

Воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Попробуем найти такое выражение $(c+d\sqrt{2})^3$, которое будет равно $7+5\sqrt{2}$.

Раскроем куб: $(c+d\sqrt{2})^3 = c^3 + 3c^2d\sqrt{2} + 3c(d\sqrt{2})^2 + (d\sqrt{2})^3 = c^3 + 3c^2d\sqrt{2} + 6cd^2 + 2d^3\sqrt{2} = (c^3+6cd^2) + (3c^2d+2d^3)\sqrt{2}$.

Приравняем это выражение к $7+5\sqrt{2}$. Получим систему уравнений для целых $c$ и $d$:

$\begin{cases} c^3+6cd^2 = 7 \\ 3c^2d+2d^3 = 5 \end{cases}$

Подбором находим, что $c=1$ и $d=1$ являются решением системы:

$\begin{cases} 1^3+6(1)(1)^2 = 1+6 = 7 \\ 3(1)^2(1)+2(1)^3 = 3+2 = 5 \end{cases}$

Следовательно, $7+5\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^3$. Отсюда $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение $5\sqrt{2}-7$. Заметим, что $(\sqrt{2}-1)^3 = (\sqrt{2})^3 - 3(\sqrt{2})^2 \cdot 1 + 3\sqrt{2} \cdot 1^2 - 1^3 = 2\sqrt{2} - 6 + 3\sqrt{2} - 1 = 5\sqrt{2}-7$.

Отсюда $\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} = \sqrt{2}-1$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} = (1+\sqrt{2}) - (\sqrt{2}-1) = 1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+1 = 2$.

Равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} = 2$ является верным.

б) Докажем данное тождество. Обозначим левую часть равенства через $x$:

$x = \sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}$

Возведем обе части этого выражения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:

$x^3 = \left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)^3 + \left(\sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)^3 + 3\left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)\left(\sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)\left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)$

Упростим правую часть. Сумма первых двух слагаемых:

$\left(6 + \sqrt{\frac{847}{27}}\right) + \left(6 - \sqrt{\frac{847}{27}}\right) = 12$.

Произведение под знаками корней в третьем слагаемом равно:

$\sqrt[3]{\left(6 + \sqrt{\frac{847}{27}}\right)\left(6 - \sqrt{\frac{847}{27}}\right)} = \sqrt[3]{6^2 - \left(\sqrt{\frac{847}{27}}\right)^2} = \sqrt[3]{36 - \frac{847}{27}}$.

Вычислим значение выражения под корнем:

$36 - \frac{847}{27} = \frac{36 \cdot 27 - 847}{27} = \frac{972 - 847}{27} = \frac{125}{27}$.

Тогда произведение корней равно $\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{5}{3}$.

Последний множитель в третьем слагаемом — это исходное выражение $x$.

Собираем все вместе:

$x^3 = 12 + 3 \cdot \frac{5}{3} \cdot x$

$x^3 = 12 + 5x$

Мы получили кубическое уравнение: $x^3 - 5x - 12 = 0$.

В условии задачи утверждается, что исходное выражение равно 3. Проверим, является ли $x=3$ корнем нашего уравнения:

$3^3 - 5(3) - 12 = 27 - 15 - 12 = 12 - 12 = 0$.

Да, $x=3$ является корнем уравнения. Чтобы доказать, что это единственный действительный корень, рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 5x - 12$. Ее производная $f'(x) = 3x^2 - 5$. Производная равна нулю при $x = \pm\sqrt{5/3}$. Это точки экстремумов. Значения функции в этих точках отрицательны, а при $x \to \infty$ функция $f(x) \to \infty$. Это означает, что график функции пересекает ось Ox только один раз. Следовательно, $x=3$ — единственный действительный корень уравнения.

Таким образом, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство $\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}} = 3$ является верным.