Номер 8.3, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.3, страница 45.

8.3. a) $c^{\frac{3}{4}}$;

Б) $p^{5+\frac{1}{2}}$;

В) $x^{\frac{3}{4}}$;

Г) $y^{2+\frac{2}{3}}$.

а)

Для того чтобы представить степень с рациональным показателем в виде корня, используется следующее свойство: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), $m$ — целое число, и по определению степени с рациональным показателем $a > 0$.

В выражении $c^{\frac{3}{4}}$ основание степени $a = c$, числитель показателя $m = 3$, а знаменатель показателя $n = 4$.

Применяя формулу, получаем:

$c^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{c^3}$

Ответ: $\sqrt[4]{c^3}$

б)

Сначала необходимо преобразовать смешанное число в показателе степени в неправильную дробь.

$5\frac{1}{2} = 5 + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} + \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$

Таким образом, исходное выражение можно записать как $p^{\frac{11}{2}}$.

Далее используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае $a = p$, $m = 11$, $n = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$p^{\frac{11}{2}} = \sqrt[2]{p^{11}}$

Корень второй степени принято называть квадратным корнем и записывать без указания показателя корня:

$\sqrt[2]{p^{11}} = \sqrt{p^{11}}$

Ответ: $\sqrt{p^{11}}$

в)

Используем то же свойство, что и в пункте а): $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Для выражения $x^{\frac{3}{4}}$ имеем: основание $a = x$, числитель показателя $m = 3$, знаменатель $n = 4$.

Подставляем эти значения в формулу:

$x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$

Ответ: $\sqrt[4]{x^3}$

г)

Первым шагом преобразуем показатель степени, который является смешанным числом, в неправильную дробь.

$2\frac{2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Теперь выражение имеет вид $y^{\frac{8}{3}}$.

Применяем свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Здесь $a = y$, $m = 8$, $n = 3$.

В результате получаем:

$y^{\frac{8}{3}} = \sqrt[3]{y^8}$

Ответ: $\sqrt[3]{y^8}$