Номер 8.10, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.10, страница 45.

8.10. a) $(27 \cdot 3^{-4})^2;$

б) $\frac{6^{-4} \cdot 6^{-9}}{6^{-12}};$

в) $16 \cdot (2^{-3})^2;$

г) $\frac{7^{-7} \cdot 7^{-8}}{7^{-13}}.$

а) Для вычисления значения выражения $(27 \cdot 3^{-4})^2$ выполним следующие действия:
1. Представим число 27 как степень с основанием 3: $27 = 3^3$.
2. Подставим это значение в исходное выражение: $(3^3 \cdot 3^{-4})^2$.
3. Упростим выражение в скобках, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3 + (-4)} = 3^{3-4} = 3^{-1}$.
4. Теперь возведем полученный результат в квадрат, используя свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2}$.
5. Преобразуем степень с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

б) Для вычисления значения выражения $\frac{6^{-4} \cdot 6^{-9}}{6^{-12}}$ выполним следующие действия:
1. Упростим числитель дроби, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$6^{-4} \cdot 6^{-9} = 6^{-4 + (-9)} = 6^{-13}$.
2. Теперь выражение имеет вид $\frac{6^{-13}}{6^{-12}}$.
3. Упростим дробь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{6^{-13}}{6^{-12}} = 6^{-13 - (-12)} = 6^{-13 + 12} = 6^{-1}$.
4. Преобразуем степень с отрицательным показателем:
$6^{-1} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) Для вычисления значения выражения $16 \cdot (2^{-3})^2$ выполним следующие действия:
1. Упростим множитель в скобках, который возводится в степень, используя свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(2^{-3})^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6}$.
2. Представим число 16 как степень с основанием 2: $16 = 2^4$.
3. Теперь выражение имеет вид $2^4 \cdot 2^{-6}$.
4. Умножим степени с одинаковым основанием, сложив их показатели ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^4 \cdot 2^{-6} = 2^{4 + (-6)} = 2^{4-6} = 2^{-2}$.
5. Преобразуем степень с отрицательным показателем:
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Для вычисления значения выражения $\frac{7^{-7} \cdot 7^{-8}}{7^{-13}}$ выполним следующие действия:
1. Упростим числитель дроби, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$7^{-7} \cdot 7^{-8} = 7^{-7 + (-8)} = 7^{-15}$.
2. Теперь выражение имеет вид $\frac{7^{-15}}{7^{-13}}$.
3. Упростим дробь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{7^{-15}}{7^{-13}} = 7^{-15 - (-13)} = 7^{-15 + 13} = 7^{-2}$.
4. Преобразуем степень с отрицательным показателем:
$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.
Ответ: $\frac{1}{49}$.