Номер 8.11, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.11, страница 45.

8.11. a) $\frac{5^4 \cdot 49^{-3}}{7^{-7} \cdot 25^3}$

б) $\frac{81^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 27^{17}}$

а)

Для решения данного примера необходимо упростить выражение, приведя все основания степеней к простым числам и используя свойства степеней.

Исходное выражение: $ \frac{5^4 \cdot 49^{-3}}{7^{-7} \cdot 25^3} $.

Представим числа 49 и 25 в виде степеней простых чисел: $49 = 7^2$ и $25 = 5^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение: $ \frac{5^4 \cdot (7^2)^{-3}}{7^{-7} \cdot (5^2)^3} $

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $ \frac{5^4 \cdot 7^{2 \cdot (-3)}}{7^{-7} \cdot 5^{2 \cdot 3}} = \frac{5^4 \cdot 7^{-6}}{7^{-7} \cdot 5^6} $

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $ \frac{5^4}{5^6} \cdot \frac{7^{-6}}{7^{-7}} = 5^{4-6} \cdot 7^{-6 - (-7)} = 5^{-2} \cdot 7^{-6+7} = 5^{-2} \cdot 7^1 $

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $ 5^{-2} \cdot 7 = \frac{1}{5^2} \cdot 7 = \frac{1}{25} \cdot 7 = \frac{7}{25} $

Ответ: $ \frac{7}{25} $.

б)

Аналогично предыдущему пункту, упростим выражение, используя свойства степеней.

Исходное выражение: $ \frac{81^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 27^{17}} $.

Представим числа 81 и 27 в виде степеней простого числа 3: $81 = 3^4$ и $27 = 3^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение: $ \frac{(3^4)^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot (3^3)^{17}} $

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $ \frac{3^{4 \cdot 12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 3^{3 \cdot 17}} = \frac{3^{48} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 3^{51}} $

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $ \frac{3^{48}}{3^{51}} \cdot \frac{10^{-7}}{10^{-5}} = 3^{48-51} \cdot 10^{-7 - (-5)} = 3^{-3} \cdot 10^{-7+5} = 3^{-3} \cdot 10^{-2} $

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим: $ \frac{1}{3^3} \cdot \frac{1}{10^2} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{2700} $

Ответ: $ \frac{1}{2700} $.