Номер 8.18, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.18, страница 46.

8.18. Найдите значение выражения:

а) $\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{6}} - x^{\frac{1}{3}}}$ при $x = 1,44$;

б) $\frac{m^{\frac{2}{3}} - 2,25}{m^{\frac{1}{3}} + 1,5}$ при $m = 8.

а)

Дано выражение $\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{6}} - x^{\frac{1}{3}}}$ при $x = 1,44$.

Сначала упростим выражение. Для этого приведем степени к общему знаменателю в показателях: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$.

Выражение принимает вид: $\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{2}{6}}}{x^{\frac{5}{6}} - x^{\frac{2}{6}}}$.

В числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $x^{\frac{2}{6}}$:

$\frac{x^{\frac{2}{6}}(x^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} + 1)}{x^{\frac{2}{6}}(x^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} - 1)} = \frac{x^{\frac{3}{6}} + 1}{x^{\frac{3}{6}} - 1}$

Сократим показатель степени $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ и запишем выражение через корень:

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $x = 1,44$.

Найдем значение $\sqrt{x}$:

$\sqrt{1,44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1,2$.

Подставим полученное значение в выражение:

$\frac{1,2 + 1}{1,2 - 1} = \frac{2,2}{0,2} = \frac{22}{2} = 11$.

Ответ: 11

б)

Дано выражение $\frac{m^{\frac{2}{3}} - 2,25}{m^{\frac{1}{3}} + 1,5}$ при $m = 8$.

Упростим данное выражение. Заметим, что числитель является разностью квадратов, так как $m^{\frac{2}{3}} = (m^{\frac{1}{3}})^2$ и $2,25 = 1,5^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:

$m^{\frac{2}{3}} - 2,25 = (m^{\frac{1}{3}})^2 - (1,5)^2 = (m^{\frac{1}{3}} - 1,5)(m^{\frac{1}{3}} + 1,5)$.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в исходное выражение:

$\frac{(m^{\frac{1}{3}} - 1,5)(m^{\frac{1}{3}} + 1,5)}{m^{\frac{1}{3}} + 1,5}$

Сократим дробь на общий множитель $(m^{\frac{1}{3}} + 1,5)$. Это возможно, так как при $m=8$ знаменатель не равен нулю.

После сокращения получим: $m^{\frac{1}{3}} - 1,5$.

Теперь подставим значение $m = 8$ в упрощенное выражение.

Сначала вычислим $m^{\frac{1}{3}}$:

$m^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Теперь вычислим окончательное значение:

$2 - 1,5 = 0,5$.

Ответ: 0,5