Номер 8.23, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.23, страница 47.

8.23. a) $(a^{0,4})^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0,8}$

B) $(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{5}} \cdot x^{1,4}$

б) $(c^{10})^{-1} : (c^{-1,2})^{\frac{3}{4}}$

Г) $(b^{0,8})^{-\frac{3}{4}} : (b^{-\frac{2}{5}})^{-1,5}$

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:
1. Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
2. Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Исходное выражение: $(a^{0,4})^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0,8}$.
Сначала применим первое свойство к множителю $(a^{0,4})^{\frac{1}{2}}$:
$(a^{0,4})^{\frac{1}{2}} = a^{0,4 \cdot \frac{1}{2}} = a^{0,2}$.
Теперь выражение имеет вид $a^{0,2} \cdot a^{0,8}$.
Далее применим второе свойство:
$a^{0,2} \cdot a^{0,8} = a^{0,2 + 0,8} = a^1 = a$.
Ответ: $a$.

б) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:
1. Возведение степени в степень: $(c^m)^n = c^{m \cdot n}$.
2. Деление степеней с одинаковым основанием: $c^m : c^n = c^{m-n}$.

Исходное выражение: $(c^{10})^{-1} : (c^{-1,2})^{\frac{3}{4}}$.
Преобразуем делимое и делитель по отдельности, используя первое свойство:
$(c^{10})^{-1} = c^{10 \cdot (-1)} = c^{-10}$.
$(c^{-1,2})^{\frac{3}{4}} = c^{-1,2 \cdot \frac{3}{4}} = c^{-\frac{12}{10} \cdot \frac{3}{4}} = c^{-\frac{36}{40}} = c^{-\frac{9}{10}} = c^{-0,9}$.
Теперь выполним деление, используя второе свойство:
$c^{-10} : c^{-0,9} = c^{-10 - (-0,9)} = c^{-10 + 0,9} = c^{-9,1}$.
Ответ: $c^{-9,1}$.

в) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:
1. Возведение степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
2. Умножение степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Исходное выражение: $(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{5}} \cdot x^{1,4}$.
Сначала применим первое свойство:
$(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{5}} = x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}} = x^{\frac{3}{5}}$.
Чтобы сложить показатели, представим дробь $\frac{3}{5}$ в виде десятичной: $\frac{3}{5} = 0,6$.
Теперь выражение имеет вид $x^{0,6} \cdot x^{1,4}$.
Применим второе свойство:
$x^{0,6} \cdot x^{1,4} = x^{0,6 + 1,4} = x^2$.
Ответ: $x^2$.

г) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:
1. Возведение степени в степень: $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$.
2. Деление степеней с одинаковым основанием: $b^m : b^n = b^{m-n}$.

Исходное выражение: $(b^{0,8})^{-\frac{3}{4}} : (b^{-\frac{2}{5}})^{-1,5}$.
Преобразуем делимое и делитель по отдельности, используя первое свойство. Для удобства будем переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот.
$(b^{0,8})^{-\frac{3}{4}} = b^{0,8 \cdot (-\frac{3}{4})} = b^{\frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{4})} = b^{-\frac{3}{5}} = b^{-0,6}$.
$(b^{-\frac{2}{5}})^{-1,5} = b^{-\frac{2}{5} \cdot (-1,5)} = b^{-0,4 \cdot (-1,5)} = b^{0,6}$.
Теперь выполним деление, используя второе свойство:
$b^{-0,6} : b^{0,6} = b^{-0,6 - 0,6} = b^{-1,2}$.
Ответ: $b^{-1,2}$.