Номер 8.25, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.25, страница 47.

8.25. a) $((c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.4})^3 \cdot c^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.2})^{-1}$;

б) $(p^{-1}q^{\frac{5}{4}}(p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}})^{3.5})^{-1}$.

а) Для упрощения выражения $\left(\left(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4}\right)^3 \cdot c^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0,2}\right)^{-1}$ выполним следующие действия.Сначала раскроем внутренние скобки, используя свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.$\left(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4}\right)^3 = (c^{-\frac{3}{7}})^3 \cdot (y^{-0,4})^3 = c^{-\frac{3}{7} \cdot 3} \cdot y^{-0,4 \cdot 3} = c^{-\frac{9}{7}} y^{-1,2}$.Теперь подставим это в исходное выражение:$\left(c^{-\frac{9}{7}} y^{-1,2} \cdot c^{\frac{3}{7}} y^{0,2}\right)^{-1}$.Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$c^{-\frac{9}{7}} \cdot c^{\frac{3}{7}} = c^{-\frac{9}{7} + \frac{3}{7}} = c^{-\frac{6}{7}}$.$y^{-1,2} \cdot y^{0,2} = y^{-1,2 + 0,2} = y^{-1}$.Получаем выражение в скобках: $c^{-\frac{6}{7}} y^{-1}$.В последнюю очередь возведем результат в степень -1:$\left(c^{-\frac{6}{7}} y^{-1}\right)^{-1} = (c^{-\frac{6}{7}})^{-1} \cdot (y^{-1})^{-1} = c^{-\frac{6}{7} \cdot (-1)} \cdot y^{-1 \cdot (-1)} = c^{\frac{6}{7}} y$.
Ответ: $c^{\frac{6}{7}}y$.

б) Упростим выражение $\left(p^{-1} q^{\frac{5}{4}}\left(p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}}\right)^{3,5}\right)^{-1}$.Сначала преобразуем выражение во внутренних скобках, возведя его в степень $3,5$. Для удобства представим $3,5$ в виде обыкновенной дроби: $3,5 = \frac{7}{2}$.$\left(p^{-\frac{2}{7}} q^{\frac{1}{14}}\right)^{3,5} = \left(p^{-\frac{2}{7}} q^{\frac{1}{14}}\right)^{\frac{7}{2}} = \left(p^{-\frac{2}{7}}\right)^{\frac{7}{2}} \cdot \left(q^{\frac{1}{14}}\right)^{\frac{7}{2}} = p^{-\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2}} \cdot q^{\frac{1}{14} \cdot \frac{7}{2}} = p^{-1} q^{\frac{7}{28}} = p^{-1} q^{\frac{1}{4}}$.Подставим результат в исходное выражение:$\left(p^{-1} q^{\frac{5}{4}} \cdot p^{-1} q^{\frac{1}{4}}\right)^{-1}$.Перемножим степени с одинаковыми основаниями:$p^{-1} \cdot p^{-1} = p^{-1 + (-1)} = p^{-2}$.$q^{\frac{5}{4}} \cdot q^{\frac{1}{4}} = q^{\frac{5}{4} + \frac{1}{4}} = q^{\frac{6}{4}} = q^{\frac{3}{2}}$.Выражение в скобках упрощается до $p^{-2} q^{\frac{3}{2}}$.Теперь возведем это выражение в степень -1:$\left(p^{-2} q^{\frac{3}{2}}\right)^{-1} = (p^{-2})^{-1} \cdot (q^{\frac{3}{2}})^{-1} = p^{-2 \cdot (-1)} \cdot q^{\frac{3}{2} \cdot (-1)} = p^2 q^{-\frac{3}{2}}$.
Ответ: $p^2 q^{-\frac{3}{2}}$.