Номер 8.24, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.24, страница 47.

8.24. a) $\frac{x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}}$;

б) $\frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot (y^{-\frac{1}{2}})^2}{(y^{\frac{4}{7}})^{-2}}$;

В) $\frac{(c^{-\frac{2}{3}})^{-4}}{c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}}$;

Г) $\left(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{5}}}\right)^{20}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}} $, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}} = x^{-\frac{2}{3} + \frac{5}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x^1 = x $.
2. Теперь разделим результат на знаменатель, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{x}{x^{\frac{3}{5}}} = x^{1 - \frac{3}{5}} = x^{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}} = x^{\frac{2}{5}} $.
Ответ: $ x^{\frac{2}{5}} $.

б) Упростим выражение $ \frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot (y^{-\frac{1}{2}})^2}{(y^{\frac{4}{7}})^{-2}} $.
1. Сначала преобразуем выражения в скобках, используя правило возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:
В числителе: $ (y^{-\frac{1}{2}})^2 = y^{-\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{-1} $.
В знаменателе: $ (y^{\frac{4}{7}})^{-2} = y^{\frac{4}{7} \cdot (-2)} = y^{-\frac{8}{7}} $.
2. Подставим полученные значения обратно в дробь:
$ \frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot y^{-1}}{y^{-\frac{8}{7}}} $.
3. Упростим числитель:
$ y^{\frac{6}{7}} \cdot y^{-1} = y^{\frac{6}{7} - 1} = y^{\frac{6}{7} - \frac{7}{7}} = y^{-\frac{1}{7}} $.
4. Выполним деление:
$ \frac{y^{-\frac{1}{7}}}{y^{-\frac{8}{7}}} = y^{-\frac{1}{7} - (-\frac{8}{7})} = y^{-\frac{1}{7} + \frac{8}{7}} = y^{\frac{7}{7}} = y^1 = y $.
Ответ: $ y $.

в) Упростим выражение $ \frac{(c^{-\frac{2}{3}})^{-4}}{c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}} $.
1. Упростим числитель по правилу $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:
$ (c^{-\frac{2}{3}})^{-4} = c^{-\frac{2}{3} \cdot (-4)} = c^{\frac{8}{3}} $.
2. Упростим знаменатель по правилу $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $. Приведем дроби к общему знаменателю: $ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} $.
$ c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6} + \frac{3}{6}} = c^{\frac{4}{6}} = c^{\frac{2}{3}} $.
3. Выполним деление:
$ \frac{c^{\frac{8}{3}}}{c^{\frac{2}{3}}} = c^{\frac{8}{3} - \frac{2}{3}} = c^{\frac{6}{3}} = c^2 $.
Ответ: $ c^2 $.

г) Упростим выражение $ (\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{5}}})^{20} $.
1. Сначала упростим выражение внутри скобок, разделив степени с одинаковыми основаниями:
Для $ a $: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}} $.
Для $ b $: $ \frac{b^{\frac{3}{5}}}{b^{\frac{2}{5}}} = b^{\frac{3}{5} - \frac{2}{5}} = b^{\frac{1}{5}} $.
Выражение в скобках становится $ a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{5}} $.
2. Теперь возведем результат в 20-ю степень, используя правило $ (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n $ и $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{5}})^{20} = (a^{\frac{1}{4}})^{20} \cdot (b^{\frac{1}{5}})^{20} = a^{\frac{1}{4} \cdot 20} \cdot b^{\frac{1}{5} \cdot 20} = a^5 \cdot b^4 $.
Ответ: $ a^5 b^4 $.