Номер 8.21, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.21, страница 47.

8.21. a) $(b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$;

б) $(8x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}$;

в) $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}}$;

г) $(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$.

а)

Для упрощения выражения $(b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$ используется свойство степеней: при возведении степени в степень их показатели перемножаются, то есть $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим это правило:

$(b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{6}}$

Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

б)

Для упрощения выражения $(8x^{-1\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}$ сначала преобразуем смешанную дробь в показателе степени в неправильную: $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид: $(8x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$.

Теперь воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(8x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} \cdot (x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$

Вычислим каждый множитель отдельно. Для первого множителя $8^{\frac{2}{3}}$ представим 8 как $2^3$:

$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$

Для второго множителя применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = x^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$

Перемножим полученные результаты:

$4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}$

Ответ: $\frac{4}{x}$

в)

Для упрощения выражения $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}}$ снова используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Перемножим показатели степеней:

$(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}} = a^{\frac{12}{6}} = a^2$

Ответ: $a^2$

г)

Для упрощения выражения $(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$ применим свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = 81^{-\frac{3}{4}} \cdot (x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$

Упростим каждый множитель. Для $81^{-\frac{3}{4}}$ используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и представим 81 как $3^4$:

$81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{(3^4)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{3^{4 \cdot \frac{3}{4}}} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$

Для второго множителя $(x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$ применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = x^{-4 \cdot (-\frac{3}{4})} = x^3$

Объединим результаты:

$\frac{1}{27} \cdot x^3 = \frac{x^3}{27}$

Ответ: $\frac{x^3}{27}$