Номер 8.20, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.20, страница 47.

Упростите выражение:

8.20. а) $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}};$

б) $y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}};$

в) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}};$

г) $z^5 : z^{-\frac{1}{2}}.$

а) Чтобы упростить выражение $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}}$, мы используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием, согласно которому показатели степеней складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Складываем показатели: $-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$.

Для сложения дробей приводим их к общему знаменателю, равному 6:

$-\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$.

Следовательно, итоговое выражение равно $b^{\frac{1}{6}}$.

Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$.

б) Чтобы упростить выражение $y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}}$, мы используем свойство деления степеней с одинаковым основанием, согласно которому из показателя делимого вычитается показатель делителя: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Вычитаем показатели: $-\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$.

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$-\frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = -\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{-5-2}{6} = -\frac{7}{6}$.

Следовательно, итоговое выражение равно $y^{-\frac{7}{6}}$.

Ответ: $y^{-\frac{7}{6}}$.

в) Чтобы упростить выражение $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}}$, мы, как и в пункте а), складываем показатели степеней.

Складываем показатели: $\frac{2}{3} + (-\frac{1}{6}) = \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$.

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4-1}{6} = \frac{3}{6}$.

Полученную дробь можно сократить: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, итоговое выражение равно $a^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$.

г) Чтобы упростить выражение $z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}}$, мы, как и в пункте б), вычитаем показатели степеней.

Вычитаем показатели: $\frac{1}{5} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{2}$.

Приводим дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{2+5}{10} = \frac{7}{10}$.

Следовательно, итоговое выражение равно $z^{\frac{7}{10}}$.

Ответ: $z^{\frac{7}{10}}$.