Номер 8.15, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.15, страница 46.

8.15. a) $(27 \cdot 64)^{\frac{1}{3}};$

Б) $(\frac{1}{16} \cdot 81^{-1})^{-\frac{1}{4}};$

В) $(\frac{1}{36} \cdot 0,04)^{\frac{1}{2}};$

Г) $(5^{-3} \cdot \frac{1}{64})^{-\frac{1}{3}}.$

а)

Для решения данного выражения воспользуемся свойством степени произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

$(27 \cdot 64)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{1}{3}}$

Степень с дробным показателем $\frac{1}{3}$ эквивалентна кубическому корню. Найдем значения для каждого множителя:

$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$

Теперь перемножим полученные результаты:

$3 \cdot 4 = 12$

Ответ: 12

б)

Сначала преобразуем выражение в скобках. Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$81^{-1} = \frac{1}{81}$

Подставим это в исходное выражение:

$(\frac{1}{16} \cdot 81^{-1})^{-\frac{1}{4}} = (\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{81})^{-\frac{1}{4}} = (\frac{1}{16 \cdot 81})^{-\frac{1}{4}}$

Теперь воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{16 \cdot 81})^{-\frac{1}{4}} = (16 \cdot 81)^{\frac{1}{4}}$

Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(16 \cdot 81)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot 81^{\frac{1}{4}}$

Степень с дробным показателем $\frac{1}{4}$ эквивалентна корню четвертой степени. Найдем значения:

$16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$

$81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$

Перемножим результаты:

$2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

в)

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

Подставим это значение в исходное выражение:

$(\frac{1}{36} \cdot 0,04)^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{36 \cdot 25})^{-\frac{1}{2}}$

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{36 \cdot 25})^{-\frac{1}{2}} = (36 \cdot 25)^{\frac{1}{2}}$

Теперь используем свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(36 \cdot 25)^{\frac{1}{2}} = 36^{\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}}$

Степень с дробным показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню. Вычислим значения:

$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$

$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

Перемножим полученные результаты:

$6 \cdot 5 = 30$

Ответ: 30

г)

Для решения этого примера воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Распределим внешний показатель степени $-\frac{1}{3}$ на каждый множитель в скобках:

$(5^{-3} \cdot \frac{1}{64})^{-\frac{1}{3}} = (5^{-3})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{64})^{-\frac{1}{3}}$

Теперь применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к первому множителю:

$(5^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 5^{-3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 5^1 = 5$

Для второго множителя воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{64})^{-\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{3}}$

Степень с дробным показателем $\frac{1}{3}$ эквивалентна кубическому корню:

$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$

Наконец, перемножим полученные значения:

$5 \cdot 4 = 20$

Ответ: 20