Номер 8.8, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.8, страница 45.

Вычислите:

8.8. a) $49^{\frac{1}{2}};$

б) $1000^{\frac{1}{3}};$

в) $27^{\frac{1}{3}};$

г) $25^{\frac{1}{2}}.$

а) Чтобы вычислить $49^{\frac{1}{2}}$, воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае показатель степени равен $\frac{1}{2}$, что соответствует извлечению квадратного корня.

Таким образом, $49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49}$.

Квадратный корень из 49 — это число, которое при умножении само на себя дает 49. Мы знаем, что $7^2 = 49$.

Другой способ — представить основание 49 как степень числа 7, то есть $49 = 7^2$. Тогда, используя свойство степеней $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$, получаем:

$49^{\frac{1}{2}} = (7^2)^{\frac{1}{2}} = 7^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

б) Для вычисления $1000^{\frac{1}{3}}$ используем то же определение. Показатель степени $\frac{1}{3}$ означает извлечение кубического корня.

Следовательно, $1000^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{1000}$.

Кубический корень из 1000 — это число, которое в третьей степени равно 1000. Таким числом является 10, так как $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

Также можно представить 1000 как $10^3$ и применить свойство степени:

$1000^{\frac{1}{3}} = (10^3)^{\frac{1}{3}} = 10^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 10^1 = 10$.

Ответ: 10

в) Вычислим $27^{\frac{1}{3}}$. Показатель степени $\frac{1}{3}$ соответствует извлечению кубического корня.

По определению, $27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}$.

Нам нужно найти число, которое при возведении в куб даст 27. Это число 3, так как $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Используя второй способ, представим 27 как степень числа 3, то есть $27 = 3^3$.

$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

г) Чтобы вычислить $25^{\frac{1}{2}}$, мы снова используем определение степени с рациональным показателем. Показатель $\frac{1}{2}$ означает извлечение квадратного корня.

$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25}$.

Квадратный корень из 25 равен 5, потому что $5^2 = 25$.

Альтернативно, представим 25 как $5^2$:

$25^{\frac{1}{2}} = (5^2)^{\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5