Номер 8.13, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.13, страница 46.

Вычислите:

ο8.13.

a) $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{0.1}$;

б) $4^{0.7} \cdot 2^{-0.6} \cdot 8^{0.4}$;

в) $7^{-\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}$;

г) $25^{0.3} \cdot 5^{1.4} \cdot 625^{0.25}$.

а) $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{0,1}$

Для решения используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Сначала приведем все показатели степени к одному виду, например, к десятичным дробям или обыкновенным. Преобразуем показатели в обыкновенные дроби:

$ \frac{2}{5} = 0,4 $

$ \frac{1}{2} = 0,5 $

Теперь выражение выглядит так: $10^{0,4} \cdot 10^{0,5} \cdot 10^{0,1}$.

Сложим показатели степеней:

$ 10^{0,4 + 0,5 + 0,1} = 10^{1} = 10 $

Ответ: 10

б) $4^{0,7} \cdot 2^{-0,6} \cdot 8^{0,4}$

Приведем все основания к одному числу — 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$. Подставим эти значения в исходное выражение:

$ (2^2)^{0,7} \cdot 2^{-0,6} \cdot (2^3)^{0,4} $

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$ 2^{2 \cdot 0,7} \cdot 2^{-0,6} \cdot 2^{3 \cdot 0,4} = 2^{1,4} \cdot 2^{-0,6} \cdot 2^{1,2} $

Теперь используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и сложим показатели:

$ 2^{1,4 + (-0,6) + 1,2} = 2^{1,4 - 0,6 + 1,2} = 2^{0,8 + 1,2} = 2^2 = 4 $

Ответ: 4

в) $7^{-\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}$

Так как основания степеней одинаковы, мы можем сложить их показатели, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$ 7^{-\frac{4}{3} + \frac{1}{12} - \frac{3}{4}} $

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 12:

$ -\frac{4}{3} = -\frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} = -\frac{16}{12} $

$ -\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{9}{12} $

Теперь сложим показатели:

$ -\frac{16}{12} + \frac{1}{12} - \frac{9}{12} = \frac{-16 + 1 - 9}{12} = \frac{-24}{12} = -2 $

Получаем:

$ 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} $

Ответ: $\frac{1}{49}$

г) $25^{0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot 625^{0,25}$

Приведем все основания к одному числу — 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $625 = 5^4$. Подставим эти значения:

$ (5^2)^{0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot (5^4)^{0,25} $

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$ 5^{2 \cdot 0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot 5^{4 \cdot 0,25} = 5^{0,6} \cdot 5^{1,4} \cdot 5^{1} $

Теперь сложим показатели, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$ 5^{0,6 + 1,4 + 1} = 5^{2 + 1} = 5^3 = 125 $

Ответ: 125