Номер 8.19, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.19, страница 47.

8.19. Найдите значение выражения:

а) $\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{t - 4} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} - 2}$ при $t = 9;$

б) $\frac{2}{y^{\frac{1}{4}} + 3} - \frac{2}{y^{\frac{1}{4}} - 3}$ при $y = 100.$

а) Сначала упростим данное выражение $\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{t-4} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} - 2}$. Заметим, что $t^{\frac{1}{2}} = \sqrt{t}$.
Знаменатель первой дроби $t-4$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, так как $t = (\sqrt{t})^2$ и $4 = 2^2$. Получаем: $t-4 = (\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)$.
Теперь выражение можно переписать в виде: $\frac{2\sqrt{t}}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)} - \frac{1}{\sqrt{t}-2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)$, для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(\sqrt{t}+2)$: $\frac{2\sqrt{t}}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)} - \frac{1 \cdot (\sqrt{t}+2)}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)} = \frac{2\sqrt{t} - (\sqrt{t}+2)}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим его: $\frac{2\sqrt{t} - \sqrt{t} - 2}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)} = \frac{\sqrt{t}-2}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{t}-2)$: $\frac{1}{\sqrt{t}+2}$.
Теперь подставим значение $t = 9$ в упрощенное выражение: $\frac{1}{\sqrt{9}+2} = \frac{1}{3+2} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

б) Упростим выражение $\frac{2}{y^{\frac{1}{4}} + 3} - \frac{2}{y^{\frac{1}{4}} - 3}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $(y^{\frac{1}{4}} + 3)(y^{\frac{1}{4}} - 3)$.
По формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, общий знаменатель равен: $(y^{\frac{1}{4}})^2 - 3^2 = y^{\frac{2}{4}} - 9 = y^{\frac{1}{2}} - 9$.
Выполним вычитание дробей: $\frac{2(y^{\frac{1}{4}} - 3) - 2(y^{\frac{1}{4}} + 3)}{(y^{\frac{1}{4}} + 3)(y^{\frac{1}{4}} - 3)}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $2y^{\frac{1}{4}} - 6 - 2y^{\frac{1}{4}} - 6 = -12$.
Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $\frac{-12}{y^{\frac{1}{2}} - 9}$.
Подставим значение $y = 100$ в это выражение: $\frac{-12}{100^{\frac{1}{2}} - 9} = \frac{-12}{\sqrt{100} - 9} = \frac{-12}{10-9} = \frac{-12}{1} = -12$.
Ответ: $-12$