Номер 8.26, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.26, страница 47.

Представьте выражение в виде суммы:

8.26. a) $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}};$

б) $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}});$

в) $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}});$

г) $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}}).$

а) Чтобы представить выражение $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$ в виде суммы, используем распределительный закон умножения $a(b-c) = ab - ac$. Умножим каждый член в скобках на $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$:

$(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

Применяя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели:

$(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}})y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}) = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = x^1y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^1 = xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y$.

Ответ: $xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y$.

б) Раскроем скобки в выражении $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$, используя распределительный закон умножения $a(b+c) = ab + ac$:

$a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сложим их показатели, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}})b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}(b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{3}}b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{3}} = a^1b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^1 = ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b$.

Ответ: $ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b$.

в) Чтобы представить выражение $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}})$ в виде суммы, раскроем скобки, умножив $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}$ на каждый член в скобках:

$b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}}) = b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{3}{4}}$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели у степеней с одинаковыми основаниями:

$(b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}})c^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}(c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{3}{4}}) = b^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}c^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} = b^{\frac{3}{3}}c^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{4}{4}} = b^1c^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c^1 = bc^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c$.

Ответ: $bc^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c$.

г) Раскроем скобки в выражении $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}})$, применив распределительный закон умножения:

$x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}}) = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}}$.

Далее, сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сложим их показатели, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}})y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}}) = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} = x^{1}y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{4}{2}} = xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^2$.

Ответ: $xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^2$.