Номер 8.28, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.28, страница 48.

8.28. Выполните умножение:

а) $ (x^{\frac{1}{3}} + 3)(x^{\frac{1}{3}} - 3) $;

б) $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $;

в) $ (d^{\frac{1}{2}} - 1)(d^{\frac{1}{2}} + 1) $;

г) $ (p^{\frac{1}{3}} - q^{\frac{1}{3}})(p^{\frac{2}{3}} + (pq)^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}}) $.

а) Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Для его упрощения применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В этом случае, пусть $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = 3$.

Тогда умножение можно выполнить следующим образом:

$(x^{\frac{1}{3}} + 3)(x^{\frac{1}{3}} - 3) = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 3^2 = x^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 9 = x^{\frac{2}{3}} - 9$.

Ответ: $x^{\frac{2}{3}} - 9$.

б) Данное выражение соответствует формуле "сумма кубов": $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

Определим, что в нашем выражении $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$ части формулы $(x^2 - xy + y^2)$:

$x^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a$

$y^2 = (b^{\frac{1}{2}})^2 = b$

$xy = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$

Действительно, $a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$ совпадает с $x^2 - xy + y^2$.

Следовательно, произведение равно сумме кубов $x$ и $y$:

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) = (a^{\frac{1}{2}})^3 + (b^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$.

в) Это выражение, как и в пункте а), является произведением разности и суммы двух выражений. Снова используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = d^{\frac{1}{2}}$ и $b = 1$.

Выполним умножение:

$(d^{\frac{1}{2}} - 1)(d^{\frac{1}{2}} + 1) = (d^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = d^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 = d^1 - 1 = d - 1$.

Ответ: $d - 1$.

г) Это выражение соответствует формуле "разность кубов": $(x-y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$.

Пусть $x = p^{\frac{1}{3}}$ и $y = q^{\frac{1}{3}}$.

Проверим вторую скобку $(p^{\frac{2}{3}} + (pq)^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}})$ на соответствие части формулы $(x^2 + xy + y^2)$:

$x^2 = (p^{\frac{1}{3}})^2 = p^{\frac{2}{3}}$

$y^2 = (q^{\frac{1}{3}})^2 = q^{\frac{2}{3}}$

$xy = p^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{3}} = (pq)^{\frac{1}{3}}$

Выражение во второй скобке полностью совпадает с $x^2 + xy + y^2$.

Таким образом, произведение равно разности кубов $x$ и $y$:

$(p^{\frac{1}{3}} - q^{\frac{1}{3}})(p^{\frac{2}{3}} + (pq)^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}}) = (p^{\frac{1}{3}})^3 - (q^{\frac{1}{3}})^3 = p - q$.

Ответ: $p - q$.