Номер 8.29, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.29, страница 48.

Сократите дробь:

8.29. a) $\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - 3}$;

б) $\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a - b}$;

в) $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x}$;

г) $\frac{p^{\frac{1}{2}} - 5}{p - 25}$.

а) Исходная дробь: $\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - 3}$.
Для сокращения дроби вынесем в знаменателе общий множитель $3^{\frac{1}{2}}$ за скобки. Для этого представим число $3$ как $(3^{\frac{1}{2}})^2$.
$3^{\frac{1}{2}} - 3 = 3^{\frac{1}{2}} - (3^{\frac{1}{2}})^2 = 3^{\frac{1}{2}}(1 - 3^{\frac{1}{2}})$.
Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}(1 - 3^{\frac{1}{2}})}$.
Теперь можно сократить дробь на общий множитель $3^{\frac{1}{2}}$:
$\frac{4}{1 - 3^{\frac{1}{2}}}$.
Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 + 3^{\frac{1}{2}})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ в знаменателе.
$\frac{4(1 + 3^{\frac{1}{2}})}{(1 - 3^{\frac{1}{2}})(1 + 3^{\frac{1}{2}})} = \frac{4(1 + 3^{\frac{1}{2}})}{1^2 - (3^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{4(1 + 3^{\frac{1}{2}})}{1 - 3} = \frac{4(1 + 3^{\frac{1}{2}})}{-2}$.
Упростим финальное выражение:
$-2(1 + 3^{\frac{1}{2}})$.
Ответ: $-2(1 + 3^{\frac{1}{2}})$

б) Исходная дробь: $\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a - b}$.
Знаменатель дроби $a - b$ можно представить в виде разности квадратов, если заметить, что $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$.
$a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a - b = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.
Подставим разложенный на множители знаменатель обратно в дробь:
$\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$:
$\frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$.
Ответ: $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$

в) Исходная дробь: $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x}$.
Для сокращения дроби вынесем в числителе общий множитель за скобки. Представим $x$ как $(x^{\frac{1}{2}})^2$.
$x + x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}})^2 + x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2x}$.
Теперь представим $x$ в знаменателе как $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ для удобства сокращения:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}$.
Сократим дробь на общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ (при условии $x > 0$):
$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{2x^{\frac{1}{2}}}$.
Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{2x^{\frac{1}{2}}}$

г) Исходная дробь: $\frac{p^{\frac{1}{2}} - 5}{p - 25}$.
Знаменатель дроби $p - 25$ является разностью квадратов. Представим $p$ как $(p^{\frac{1}{2}})^2$ и $25$ как $5^2$.
$p - 25 = (p^{\frac{1}{2}})^2 - 5^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$p - 25 = (p^{\frac{1}{2}} - 5)(p^{\frac{1}{2}} + 5)$.
Подставим разложенный на множители знаменатель в дробь:
$\frac{p^{\frac{1}{2}} - 5}{(p^{\frac{1}{2}} - 5)(p^{\frac{1}{2}} + 5)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(p^{\frac{1}{2}} - 5)$ (при условии $p \neq 25$):
$\frac{1}{p^{\frac{1}{2}} + 5}$.
Ответ: $\frac{1}{p^{\frac{1}{2}} + 5}$