Номер 8.32, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.32, страница 48.

8.32. a) $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2$;

б) $(a^{\frac{3}{2}} + 5a^{\frac{1}{2}})^2 - 10a^2$.

a)

Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $X^2 - Y^2$, которую можно разложить по формуле $(X-Y)(X+Y)$.

Пусть $X = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$ и $Y = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.

Тогда выражение примет вид:

$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2 = \left((a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})\right) \cdot \left((a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) + (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})\right)$

Упростим каждую из скобок:

Первая скобка: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = 2b^{\frac{1}{3}}$

Вторая скобка: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = 2a^{\frac{1}{3}}$

Теперь перемножим результаты:

$(2b^{\frac{1}{3}}) \cdot (2a^{\frac{1}{3}}) = 4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

б)

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$.

Пусть $X = a^{\frac{3}{2}}$ и $Y = 5a^{\frac{1}{2}}$.

$(a^{\frac{3}{2}} + 5a^{\frac{1}{2}})^2 - 10a^2 = (a^{\frac{3}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{3}{2}} \cdot 5a^{\frac{1}{2}} + (5a^{\frac{1}{2}})^2 - 10a^2$

Выполним вычисления для каждого слагаемого:

$(a^{\frac{3}{2}})^2 = a^{\frac{3}{2} \cdot 2} = a^3$

$2 \cdot a^{\frac{3}{2}} \cdot 5a^{\frac{1}{2}} = 10 \cdot a^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = 10 \cdot a^{\frac{4}{2}} = 10a^2$

$(5a^{\frac{1}{2}})^2 = 5^2 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^2 = 25 \cdot a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25a$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$a^3 + 10a^2 + 25a - 10a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (10a^2 - 10a^2) + 25a = a^3 + 25a$

Ответ: $a^3 + 25a$