Страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какие из указанных ниже соотношений являются верными, а какие — нет (a, b, c — неотрицательные числа):

а) $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

б) $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{abc}$

в) $\sqrt[n]{a + b} = \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$

г) $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{a + b - c}$

д) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad (b \neq 0)$

е) $\frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{c}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{ac}{b}} \quad (b \neq 0)$

ж) $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{ab - c}?$

а) Это соотношение является одним из основных свойств арифметического корня n-ой степени и является верным. Оно гласит, что корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.

Докажем это. Пусть $x = \sqrt[n]{a}$ и $y = \sqrt[n]{b}$. По определению корня, это означает, что $x^n = a$ и $y^n = b$ (поскольку $a, b$ неотрицательны, то и их арифметические корни $x, y$ также неотрицательны).

Рассмотрим произведение $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и возведем его в степень $n$: $(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})^n = (\sqrt[n]{a})^n \cdot (\sqrt[n]{b})^n = a \cdot b$.

Поскольку $(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})^n = ab$ и $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \ge 0$, то по определению арифметического корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ является корнем n-ой степени из $ab$. Таким образом, $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Ответ: верное.

б) Это соотношение также является верным, так как оно представляет собой обобщение свойства из пункта а) на три множителя.

Используя свойство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$, преобразуем левую часть равенства: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = (\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}) \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{ab} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{(ab)c} = \sqrt[n]{abc}$. Левая часть равна правой, следовательно, соотношение верно.

Ответ: верное.

в) Данное соотношение в общем случае неверно. Корень из суммы не равен сумме корней. Чтобы показать это, достаточно привести контрпример.

Пусть $n=2$, $a=9$, $b=16$.

Левая часть: $\sqrt[n]{a+b} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Правая часть: $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Так как $5 \neq 7$, данное равенство не является тождеством.

Ответ: неверное.

г) Это соотношение, аналогично предыдущему, в общем случае неверно. Операции сложения и вычитания нельзя "проносить" через знак корня.

Приведем контрпример. Пусть $n=2$, $a=25$, $b=16$, $c=9$. Убедимся, что подкоренное выражение в правой части неотрицательно: $a+b-c = 25+16-9 = 32 \ge 0$.

Левая часть: $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{c} = \sqrt{25} + \sqrt{16} - \sqrt{9} = 5 + 4 - 3 = 6$.

Правая часть: $\sqrt[n]{a+b-c} = \sqrt{25+16-9} = \sqrt{32}$.

Поскольку $6 = \sqrt{36}$, а $\sqrt{36} \neq \sqrt{32}$, равенство не выполняется.

Ответ: неверное.

д) Это соотношение является верным. Это свойство корня из частного, которое гласит, что корень n-ой степени из дроби равен частному корней из числителя и знаменателя (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Доказательство аналогично пункту а). Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и возведем его в степень $n$: $\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n} = \frac{a}{b}$.

Поскольку $\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{a}{b}$ и $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \ge 0$, по определению арифметического корня n-ой степени, $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Ответ: верное.

е) Данное соотношение является верным. Его можно доказать, последовательно применяя свойства корней из пунктов а) и д).

Преобразуем левую часть. Сначала применим свойство корня из произведения (пункт а)) к числителю: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{ac}$.

Теперь выражение принимает вид: $\frac{\sqrt[n]{ac}}{\sqrt[n]{b}}$.

Далее применяем свойство корня из частного (пункт д)): $\frac{\sqrt[n]{ac}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{ac}{b}}$.

Левая часть тождественно равна правой.

Ответ: верное.

ж) Проверим данное соотношение. Оно в общем случае неверно.

Упростим левую часть, используя свойство из пункта а): $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Тогда равенство принимает вид: $\sqrt[n]{ab} - \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{ab-c}$. Это равенство похоже на неверные равенства из пунктов в) и г). Оно утверждает, что разность корней равна корню из разности, что неверно.

Приведем контрпример. Пусть $n=2$, $a=9$, $b=4$, $c=20$. Подкоренное выражение в правой части: $ab-c = 9 \cdot 4 - 20 = 36 - 20 = 16 \ge 0$.

Левая часть: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{c} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{4} - \sqrt{20} = 3 \cdot 2 - \sqrt{20} = 6 - \sqrt{20}$.

Правая часть: $\sqrt[n]{ab-c} = \sqrt{16} = 4$.

Сравним $6 - \sqrt{20}$ и $4$. Так как $4 < 20 < 25$, то $2 < \sqrt{20} < 5$. Приближенно $\sqrt{20} \approx 4.47$. $6 - \sqrt{20} \approx 6 - 4.47 = 1.53$. Очевидно, что $1.53 \neq 4$. Равенство не выполняется.

Ответ: неверное.

2. Всегда ли верно равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$? Если не всегда, то приведите пример, когда оно верно, и пример, когда оно неверно.

Равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$ верно не всегда.

По определению, арифметический корень четной степени из неотрицательного числа есть число неотрицательное. Выражение под корнем $a^4$ всегда является неотрицательным ($a^4 \ge 0$) при любом действительном значении $a$. Следовательно, результат извлечения корня 4-й степени $\sqrt[4]{a^4}$ также должен быть неотрицательным числом.

Правая часть равенства, переменная $a$, может принимать любые действительные значения, как положительные, так и отрицательные.

Общее правило для корней четной степени гласит: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$ (модуль числа $x$).

Применяя это правило к нашему случаю, где $2n=4$, получаем: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$.

Таким образом, исходное равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$ эквивалентно равенству $|a| = a$. Это равенство истинно только для неотрицательных значений $a$ (то есть при $a \ge 0$). Если $a$ — отрицательное число, равенство не выполняется, так как $|a| = -a$.

Пример, когда оно верно

Равенство будет верным, если $a$ — неотрицательное число. Возьмем, к примеру, $a = 3$.

Подставляем в левую часть: $\sqrt[4]{3^4} = \sqrt[4]{81} = 3$.

Правая часть равна $a = 3$.

Получаем верное равенство $3 = 3$.

Ответ: равенство верно при $a \ge 0$, например, при $a=3$.

Пример, когда оно неверно

Равенство будет неверным, если $a$ — отрицательное число. Возьмем, к примеру, $a = -3$.

Подставляем в левую часть: $\sqrt[4]{(-3)^4} = \sqrt[4]{81} = 3$.

Правая часть равна $a = -3$.

Получаем неверное равенство $3 = -3$, что является ложью.

Ответ: равенство неверно при $a < 0$, например, при $a=-3$.

8.28. Выполните умножение:

а) $ (x^{\frac{1}{3}} + 3)(x^{\frac{1}{3}} - 3) $;

б) $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $;

в) $ (d^{\frac{1}{2}} - 1)(d^{\frac{1}{2}} + 1) $;

г) $ (p^{\frac{1}{3}} - q^{\frac{1}{3}})(p^{\frac{2}{3}} + (pq)^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}}) $.

а) Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Для его упрощения применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В этом случае, пусть $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = 3$.

Тогда умножение можно выполнить следующим образом:

$(x^{\frac{1}{3}} + 3)(x^{\frac{1}{3}} - 3) = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 3^2 = x^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 9 = x^{\frac{2}{3}} - 9$.

Ответ: $x^{\frac{2}{3}} - 9$.

б) Данное выражение соответствует формуле "сумма кубов": $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

Определим, что в нашем выражении $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$ части формулы $(x^2 - xy + y^2)$:

$x^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a$

$y^2 = (b^{\frac{1}{2}})^2 = b$

$xy = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$

Действительно, $a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$ совпадает с $x^2 - xy + y^2$.

Следовательно, произведение равно сумме кубов $x$ и $y$:

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) = (a^{\frac{1}{2}})^3 + (b^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$.

в) Это выражение, как и в пункте а), является произведением разности и суммы двух выражений. Снова используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = d^{\frac{1}{2}}$ и $b = 1$.

Выполним умножение:

$(d^{\frac{1}{2}} - 1)(d^{\frac{1}{2}} + 1) = (d^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = d^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 = d^1 - 1 = d - 1$.

Ответ: $d - 1$.

г) Это выражение соответствует формуле "разность кубов": $(x-y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$.

Пусть $x = p^{\frac{1}{3}}$ и $y = q^{\frac{1}{3}}$.

Проверим вторую скобку $(p^{\frac{2}{3}} + (pq)^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}})$ на соответствие части формулы $(x^2 + xy + y^2)$:

$x^2 = (p^{\frac{1}{3}})^2 = p^{\frac{2}{3}}$

$y^2 = (q^{\frac{1}{3}})^2 = q^{\frac{2}{3}}$

$xy = p^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{3}} = (pq)^{\frac{1}{3}}$

Выражение во второй скобке полностью совпадает с $x^2 + xy + y^2$.

Таким образом, произведение равно разности кубов $x$ и $y$:

$(p^{\frac{1}{3}} - q^{\frac{1}{3}})(p^{\frac{2}{3}} + (pq)^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}}) = (p^{\frac{1}{3}})^3 - (q^{\frac{1}{3}})^3 = p - q$.

Ответ: $p - q$.

Сократите дробь:

8.29. a) $\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - 3}$;

б) $\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a - b}$;

в) $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x}$;

г) $\frac{p^{\frac{1}{2}} - 5}{p - 25}$.

а) Исходная дробь: $\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - 3}$.
Для сокращения дроби вынесем в знаменателе общий множитель $3^{\frac{1}{2}}$ за скобки. Для этого представим число $3$ как $(3^{\frac{1}{2}})^2$.
$3^{\frac{1}{2}} - 3 = 3^{\frac{1}{2}} - (3^{\frac{1}{2}})^2 = 3^{\frac{1}{2}}(1 - 3^{\frac{1}{2}})$.
Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}(1 - 3^{\frac{1}{2}})}$.
Теперь можно сократить дробь на общий множитель $3^{\frac{1}{2}}$:
$\frac{4}{1 - 3^{\frac{1}{2}}}$.
Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 + 3^{\frac{1}{2}})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ в знаменателе.
$\frac{4(1 + 3^{\frac{1}{2}})}{(1 - 3^{\frac{1}{2}})(1 + 3^{\frac{1}{2}})} = \frac{4(1 + 3^{\frac{1}{2}})}{1^2 - (3^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{4(1 + 3^{\frac{1}{2}})}{1 - 3} = \frac{4(1 + 3^{\frac{1}{2}})}{-2}$.
Упростим финальное выражение:
$-2(1 + 3^{\frac{1}{2}})$.
Ответ: $-2(1 + 3^{\frac{1}{2}})$

б) Исходная дробь: $\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a - b}$.
Знаменатель дроби $a - b$ можно представить в виде разности квадратов, если заметить, что $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$.
$a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a - b = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.
Подставим разложенный на множители знаменатель обратно в дробь:
$\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$:
$\frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$.
Ответ: $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$

в) Исходная дробь: $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x}$.
Для сокращения дроби вынесем в числителе общий множитель за скобки. Представим $x$ как $(x^{\frac{1}{2}})^2$.
$x + x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}})^2 + x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2x}$.
Теперь представим $x$ в знаменателе как $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ для удобства сокращения:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}$.
Сократим дробь на общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ (при условии $x > 0$):
$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{2x^{\frac{1}{2}}}$.
Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{2x^{\frac{1}{2}}}$

г) Исходная дробь: $\frac{p^{\frac{1}{2}} - 5}{p - 25}$.
Знаменатель дроби $p - 25$ является разностью квадратов. Представим $p$ как $(p^{\frac{1}{2}})^2$ и $25$ как $5^2$.
$p - 25 = (p^{\frac{1}{2}})^2 - 5^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$p - 25 = (p^{\frac{1}{2}} - 5)(p^{\frac{1}{2}} + 5)$.
Подставим разложенный на множители знаменатель в дробь:
$\frac{p^{\frac{1}{2}} - 5}{(p^{\frac{1}{2}} - 5)(p^{\frac{1}{2}} + 5)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(p^{\frac{1}{2}} - 5)$ (при условии $p \neq 25$):
$\frac{1}{p^{\frac{1}{2}} + 5}$.
Ответ: $\frac{1}{p^{\frac{1}{2}} + 5}$

8.30. a) $\frac{c + c^{1/2}d^{1/2} + d}{c^{3/2} - d^{3/2}};$

б) $\frac{m + n}{m^{2/3} - m^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}}.$

a)

Чтобы упростить данное выражение, необходимо заметить, что числитель и знаменатель являются частями формулы разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Рассмотрим знаменатель $c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}}$. Его можно представить как разность кубов, если взять $a = c^{\frac{1}{2}}$ и $b = d^{\frac{1}{2}}$. Тогда:

$a^3 = (c^{\frac{1}{2}})^3 = c^{\frac{3}{2}}$

$b^3 = (d^{\frac{1}{2}})^3 = d^{\frac{3}{2}}$

Применяя формулу разности кубов, получаем:

$c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}} = (c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}) \cdot ((c^{\frac{1}{2}})^2 + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + (d^{\frac{1}{2}})^2) = (c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d)$.

Теперь подставим полученное разложение в исходную дробь:

$\frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}}} = \frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{(c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d)}$

Сократим общий множитель $(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: $\frac{1}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}}$.

б)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Рассмотрим числитель $m + n$. Его можно представить как сумму кубов, если взять $a = m^{\frac{1}{3}}$ и $b = n^{\frac{1}{3}}$. Тогда:

$a^3 = (m^{\frac{1}{3}})^3 = m$

$b^3 = (n^{\frac{1}{3}})^3 = n$

Применяя формулу суммы кубов, получаем:

$m + n = (m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}) \cdot ((m^{\frac{1}{3}})^2 - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + (n^{\frac{1}{3}})^2) = (m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})$.

Теперь подставим полученное разложение в исходную дробь:

$\frac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}}$

Сократим общий множитель $(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})$ в числителе и знаменателе:

$m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}$.

Упростите выражение:

8.31. a) $(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}};$

б) $(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}};$

в) $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}};$

г) $\sqrt{b} + \sqrt{c} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2.$

а) Чтобы упростить выражение $(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}}$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем скобки в выражении:
$(1 + c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}} = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{2}} + (c^{\frac{1}{2}})^2) - 2c^{\frac{1}{2}}$
Упростим полученное выражение:
$1 + 2c^{\frac{1}{2}} + c - 2c^{\frac{1}{2}}$
Приведем подобные слагаемые ($2c^{\frac{1}{2}}$ и $-2c^{\frac{1}{2}}$ взаимно уничтожаются):
$1 + c$
Ответ: $1 + c$.

б) Чтобы упростить выражение $(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}}$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Раскроем скобки:
$(m^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{3}})^2 + 2m^{\frac{7}{12}} = ((m^{\frac{1}{4}})^2 - 2 \cdot m^{\frac{1}{4}} \cdot m^{\frac{1}{3}} + (m^{\frac{1}{3}})^2) + 2m^{\frac{7}{12}}$
Применим свойства степеней: $(a^n)^k = a^{nk}$ и $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$.
$(m^{\frac{1}{4}})^2 = m^{\frac{1}{4} \cdot 2} = m^{\frac{1}{2}}$
$m^{\frac{1}{4}} \cdot m^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} = m^{\frac{3}{12} + \frac{4}{12}} = m^{\frac{7}{12}}$
$(m^{\frac{1}{3}})^2 = m^{\frac{1}{3} \cdot 2} = m^{\frac{2}{3}}$
Подставим полученные значения в выражение:
$m^{\frac{1}{2}} - 2m^{\frac{7}{12}} + m^{\frac{2}{3}} + 2m^{\frac{7}{12}}$
Приведем подобные слагаемые ($-2m^{\frac{7}{12}}$ и $2m^{\frac{7}{12}}$ взаимно уничтожаются):
$m^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{2}{3}}$
Ответ: $m^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{2}{3}}$.

в) Чтобы упростить выражение $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Раскроем скобки:
$(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = ((x^{\frac{1}{2}})^2 - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2) + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$
Упростим степени:
$x - 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$
Приведем подобные слагаемые ($-2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$ и $2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$ взаимно уничтожаются):
$x + y$
Ответ: $x + y$.

г) Чтобы упростить выражение $\sqrt{b} + \sqrt{c} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2$, сначала представим корни в виде степеней: $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{c} = c^{\frac{1}{2}}$.
Выражение примет вид: $b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - ((b^{\frac{1}{4}})^2 + 2 \cdot b^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}} + (c^{\frac{1}{4}})^2)$
Упростим степени в скобках:
$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{2}})$
Раскроем скобки, поменяв знаки слагаемых внутри на противоположные:
$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} - c^{\frac{1}{2}}$
Приведем подобные слагаемые: $b^{\frac{1}{2}}$ и $-b^{\frac{1}{2}}$ взаимно уничтожаются, так же как и $c^{\frac{1}{2}}$ и $-c^{\frac{1}{2}}$.
$-2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}}$
Ответ: $-2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}}$.

8.32. a) $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2$;

б) $(a^{\frac{3}{2}} + 5a^{\frac{1}{2}})^2 - 10a^2$.

a)

Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $X^2 - Y^2$, которую можно разложить по формуле $(X-Y)(X+Y)$.

Пусть $X = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}$ и $Y = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.

Тогда выражение примет вид:

$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2 = \left((a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) - (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})\right) \cdot \left((a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) + (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})\right)$

Упростим каждую из скобок:

Первая скобка: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = 2b^{\frac{1}{3}}$

Вторая скобка: $a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} = 2a^{\frac{1}{3}}$

Теперь перемножим результаты:

$(2b^{\frac{1}{3}}) \cdot (2a^{\frac{1}{3}}) = 4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

б)

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$.

Пусть $X = a^{\frac{3}{2}}$ и $Y = 5a^{\frac{1}{2}}$.

$(a^{\frac{3}{2}} + 5a^{\frac{1}{2}})^2 - 10a^2 = (a^{\frac{3}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{3}{2}} \cdot 5a^{\frac{1}{2}} + (5a^{\frac{1}{2}})^2 - 10a^2$

Выполним вычисления для каждого слагаемого:

$(a^{\frac{3}{2}})^2 = a^{\frac{3}{2} \cdot 2} = a^3$

$2 \cdot a^{\frac{3}{2}} \cdot 5a^{\frac{1}{2}} = 10 \cdot a^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = 10 \cdot a^{\frac{4}{2}} = 10a^2$

$(5a^{\frac{1}{2}})^2 = 5^2 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^2 = 25 \cdot a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25a$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$a^3 + 10a^2 + 25a - 10a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (10a^2 - 10a^2) + 25a = a^3 + 25a$

Ответ: $a^3 + 25a$

8.33. a) $(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1);$

б) $(k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}} - l^{\frac{1}{8}}).$

а)

Для упрощения данного выражения будем последовательно применять формулу разности квадратов: $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $.

1. Рассмотрим первые два множителя: $ (x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1) $. Это как раз форма разности квадратов, где $ a = x^{\frac{1}{4}} $ и $ b = 1 $.

Применяем формулу:

$ (x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1) = (x^{\frac{1}{4}})^2 - 1^2 $

При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

$ (x^{\frac{1}{4}})^2 = x^{\frac{1}{4} \cdot 2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} $

Таким образом, произведение первых двух скобок равно $ x^{\frac{1}{2}} - 1 $.

2. Теперь исходное выражение принимает вид:

$ (x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1) $

3. Мы снова получили выражение, соответствующее формуле разности квадратов, где $ a = x^{\frac{1}{2}} $ и $ b = 1 $.

Применяем формулу еще раз:

$ (x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1) = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 = x^1 - 1 = x - 1 $.

Ответ: $x-1$.

б)

В этом выражении также будем использовать формулу разности квадратов $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $. Удобнее начать с последних двух множителей.

1. Рассмотрим произведение $ (k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}} - l^{\frac{1}{8}}) $. Это разность квадратов, где $ a = k^{\frac{1}{8}} $ и $ b = l^{\frac{1}{8}} $.

Применяем формулу:

$ (k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}} - l^{\frac{1}{8}}) = (k^{\frac{1}{8}})^2 - (l^{\frac{1}{8}})^2 $

Используя правило возведения степени в степень, получаем:

$ (k^{\frac{1}{8}})^2 = k^{\frac{1}{8} \cdot 2} = k^{\frac{2}{8}} = k^{\frac{1}{4}} $

$ (l^{\frac{1}{8}})^2 = l^{\frac{1}{8} \cdot 2} = l^{\frac{2}{8}} = l^{\frac{1}{4}} $

Произведение последних двух скобок равно $ k^{\frac{1}{4}} - l^{\frac{1}{4}} $.

2. Подставим этот результат в исходное выражение. Оно примет вид:

$ (k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{4}} - l^{\frac{1}{4}}) $

3. Снова применяем формулу разности квадратов, где теперь $ a = k^{\frac{1}{4}} $ и $ b = l^{\frac{1}{4}} $:

$ (k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{4}} - l^{\frac{1}{4}}) = (k^{\frac{1}{4}})^2 - (l^{\frac{1}{4}})^2 = k^{\frac{1}{4} \cdot 2} - l^{\frac{1}{4} \cdot 2} = k^{\frac{2}{4}} - l^{\frac{2}{4}} = k^{\frac{1}{2}} - l^{\frac{1}{2}} $.

Ответ: $k^{\frac{1}{2}} - l^{\frac{1}{2}}$.

8.34. a) $\frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b}$

б) $\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}$.

a)

Упростим выражение $ \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b} $. Область допустимых значений: $a \ge 0, b \ge 0, a \ne b$.

Преобразуем каждую дробь по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.

Для первой дроби используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Представим числитель $a-b$ как $ (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 $:

$ \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} $

Для второй дроби используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ и разности квадратов. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$ a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $

$ a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $

Теперь сократим вторую дробь:

$ \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $

Теперь выполним вычитание упрощенных выражений:

$ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) - \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $

Приведем к общему знаменателю $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 - (a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $

Раскроем скобки в числителе. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$ \frac{(a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) - (a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b - a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $

Результат также можно записать в виде корней: $ \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $.

Ответ: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $

б)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $. Область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0, x \ne y$.

Заметим, что $ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $ и $ \sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}} $. Перепишем выражение:

$ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $ (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) $.

Используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, упростим общий знаменатель:

$ (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = x - y $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $x-y$ и сложим их числители:

$ \frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x-y} $

Раскроем скобки в числителе:

$ x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = x - (xy)^{\frac{1}{2}} + (xy)^{\frac{1}{2}} + y = x+y $

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{x+y}{x-y} $

Ответ: $ \frac{x+y}{x-y} $