Страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

9.11. a) $y = (x + 3)^{\frac{1}{6}} - 1;$

б) $y = (x - 2)^{-\frac{1}{9}} + 5;$

в) $y = (x + 6)^{\frac{7}{4}} + 2;$

г) $y = (x - 3)^{\frac{1}{2}} - 1.$

а) $y = (x + 3)^{\frac{1}{6}} - 1$

1. Область определения функции (ОДЗ). Поскольку показатель степени $p = \frac{1}{6}$ имеет четный знаменатель (6), выражение в основании степени должно быть неотрицательным.
$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-3; +\infty)$.

2. Построение графика. График данной функции можно получить из графика базовой степенной функции $y_0 = x^{\frac{1}{6}}$ (или $y_0 = \sqrt[6]{x}$) с помощью последовательных преобразований:

• Сдвигаем график $y_0 = x^{\frac{1}{6}}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox, чтобы получить график функции $y_1 = (x+3)^{\frac{1}{6}}$.
• Сдвигаем полученный график $y_1$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = (x+3)^{\frac{1}{6}} - 1$.

График базовой функции $y_0 = x^{\frac{1}{6}}$ выходит из точки (0,0) и является возрастающим и выпуклым вверх (похож на ветвь параболы, лежащую на боку).

3. Ключевые точки для построения.

• Начальная точка графика (вершина): при $x = -3$, $y = (-3 + 3)^{\frac{1}{6}} - 1 = 0 - 1 = -1$. Точка (-3, -1).
• Пересечение с осью Ox (y=0): $0 = (x+3)^{\frac{1}{6}} - 1 \implies (x+3)^{\frac{1}{6}} = 1 \implies x+3 = 1^6 \implies x = -2$. Точка (-2, 0).
• Дополнительная точка: пусть $x+3 = 64$ (удобное число для извлечения корня), тогда $x=61$. $y = 64^{\frac{1}{6}} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка (61, 1).

Ответ: График функции является ветвью, выходящей из точки (-3, -1), возрастающей и проходящей через точку (-2, 0).

б) $y = (x - 2)^{-\frac{1}{9}} + 5$

1. Область определения функции (ОДЗ). Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{9}}} + 5$ или $y = \frac{1}{\sqrt[9]{x-2}} + 5$. Из-за того, что выражение стоит в знаменателе, оно не должно быть равно нулю: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Знаменатель показателя степени (9) нечетный, поэтому подкоренное выражение может принимать любые значения.
Следовательно, область определения: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Построение графика. График можно получить из графика базовой функции $y_0 = x^{-\frac{1}{9}}$ (или $y_0 = \frac{1}{\sqrt[9]{x}}$), который похож на график гиперболы $y=1/x$. Преобразования:

• Сдвиг графика $y_0$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получим $y_1 = (x-2)^{-\frac{1}{9}}$.
• Сдвиг графика $y_1$ на 5 единиц вверх вдоль оси Oy. Получим $y = (x-2)^{-\frac{1}{9}} + 5$.

В результате этих сдвигов асимптоты графика смещаются.

3. Асимптоты и ключевые точки.

• Вертикальная асимптота: $x=2$.
• Горизонтальная асимптота: $y=5$.
• Ключевые точки:
  • При $x-2 = 1 \implies x=3$, $y = 1^{-\frac{1}{9}} + 5 = 1 + 5 = 6$. Точка (3, 6).
  • При $x-2 = -1 \implies x=1$, $y = (-1)^{-\frac{1}{9}} + 5 = -1 + 5 = 4$. Точка (1, 4).

При $x \to 2^+$, $y \to +\infty$. При $x \to 2^-$, $y \to -\infty$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, аналогичных гиперболе, с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=5$. Одна ветвь находится "справа-сверху" от точки пересечения асимптот и проходит через точку (3, 6). Другая ветвь находится "слева-снизу" и проходит через точку (1, 4).

в) $y = (x + 6)^{\frac{7}{4}} + 2$

1. Область определения функции (ОДЗ). Знаменатель показателя степени $p = \frac{7}{4}$ четный (4), поэтому основание степени должно быть неотрицательным.
$x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$
Следовательно, область определения: $D(y) = [-6; +\infty)$.

2. Построение графика. График получаем из графика базовой функции $y_0 = x^{\frac{7}{4}}$ с помощью сдвигов:

• Сдвиг графика $y_0$ на 6 единиц влево вдоль оси Ox, получаем $y_1 = (x+6)^{\frac{7}{4}}$.
• Сдвиг графика $y_1$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy, получаем $y = (x+6)^{\frac{7}{4}} + 2$.

Поскольку показатель степени $7/4 = 1.75 > 1$, функция возрастает, и ее график является выпуклым вниз (растет быстрее линейной функции).

3. Ключевые точки.

• Начальная точка графика: при $x=-6$, $y = (-6+6)^{\frac{7}{4}} + 2 = 0 + 2 = 2$. Точка (-6, 2).
• Дополнительная точка: при $x+6=1 \implies x=-5$, $y = 1^{\frac{7}{4}} + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка (-5, 3).
• Функция растет очень быстро. Например, при $x=10$, $y = (10+6)^{\frac{7}{4}} + 2 = 16^{\frac{7}{4}} + 2 = (2^4)^{\frac{7}{4}} + 2 = 2^7 + 2 = 128 + 2 = 130$.

Ответ: График функции — это ветвь, которая начинается в точке (-6, 2), проходит через точку (-5, 3) и очень быстро возрастает, будучи выпуклой вниз.

г) $y = (x - 3)^{\frac{1}{2}} - 1$

1. Область определения функции (ОДЗ). Функцию можно записать как $y = \sqrt{x-3} - 1$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$
Следовательно, область определения: $D(y) = [3; +\infty)$.

2. Построение графика. График получаем из графика базовой функции $y_0 = \sqrt{x}$ (верхняя ветвь параболы $y^2=x$) с помощью сдвигов:

• Сдвиг графика $y_0 = \sqrt{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox, получаем $y_1 = \sqrt{x-3}$.
• Сдвиг графика $y_1$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy, получаем $y = \sqrt{x-3} - 1$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка (вершина): при $x=3$, $y = \sqrt{3-3} - 1 = 0 - 1 = -1$. Точка (3, -1).
• Пересечение с осью Ox (y=0): $0 = \sqrt{x-3} - 1 \implies \sqrt{x-3} = 1 \implies x-3=1 \implies x=4$. Точка (4, 0).
• Дополнительная точка: при $x=7$, $y = \sqrt{7-3} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка (7, 1).

Ответ: График функции — это ветвь параболы, выходящая из точки (3, -1), направленная вправо и вверх и пересекающая ось Ox в точке (4, 0).

ο9.12. a) $y = 2x^{\frac{1}{3}}$;

б) $y = -x^{-\frac{3}{5}}$;

в) $y = \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}$;

г) $y = -2x^{\frac{1}{4}}$.

a) Найдём производную функции $y = 2x^{\frac{1}{3}}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(kx^n)' = k \cdot n \cdot x^{n-1}$, где коэффициент $k=2$ и показатель степени $n = \frac{1}{3}$.

Выполним вычисления:

$y' = (2x^{\frac{1}{3}})' = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

б) Найдём производную функции $y = -x^{-\frac{3}{5}}$.

Применяем правило дифференцирования степенной функции $(kx^n)' = k \cdot n \cdot x^{n-1}$. В данном случае $k=-1$ и $n = -\frac{3}{5}$.

Выполним вычисления:

$y' = (-x^{-\frac{3}{5}})' = -1 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot x^{-\frac{3}{5} - 1} = \frac{3}{5} \cdot x^{-\frac{3}{5} - \frac{5}{5}} = \frac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}}$.

в) Найдём производную функции $y = \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}$.

Используем то же правило, где $k=\frac{1}{2}$ и $n = \frac{3}{2}$.

Выполним вычисления:

$y' = \left(\frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{3}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{3}{4}x^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{4}x^{\frac{1}{2}}$.

г) Найдём производную функции $y = -2x^{\frac{1}{4}}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции, где $k=-2$ и $n = \frac{1}{4}$.

Выполним вычисления:

$y' = (-2x^{\frac{1}{4}})' = -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{4} - 1} = -\frac{2}{4} \cdot x^{\frac{1}{4} - \frac{4}{4}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}}$.

9.13. a) $y = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} - 2;$

В) $y = -(x + 2)^{\frac{3}{2}} + 1;$

б) $y = - \frac{1}{\sqrt[4]{x + 4}} + 2;$

Г) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x - 3}} - 4.$

а) Для функции $y = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} - 2$. Область определения $D(y)$: выражение $(x-1)^{\frac{2}{3}}$ можно записать как $\sqrt[3]{(x-1)^2}$. Выражение $(x-1)^2$ определено для любого действительного $x$, и кубический корень также определен для любого действительного числа. Следовательно, область определения функции — все действительные числа. $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y)$: так как $(x-1)^2 \ge 0$, то и $(x - 1)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x-1)^2} \ge 0$. Умножая на 2, получаем $2(x - 1)^{\frac{2}{3}} \ge 0$. Вычитая 2 из обеих частей, находим, что $y = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} - 2 \ge -2$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [-2; +\infty)$. Ответ: Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y): [-2; +\infty)$.

б) Для функции $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} + 2$. Область определения $D(y)$: для существования функции необходимо, чтобы подкоренное выражение корня четной степени было неотрицательным ($x+4 \ge 0$) и знаменатель не был равен нулю ($\sqrt[4]{x+4} \neq 0$). Объединение этих условий дает строгое неравенство $x+4 > 0$, откуда $x > -4$. Таким образом, $D(y) = (-4; +\infty)$. Область значений $E(y)$: из условия $x > -4$ следует, что $x+4 > 0$, а значит $\sqrt[4]{x+4} > 0$. Тогда дробь $\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}}$ всегда положительна. Умножая ее на -1, получаем $-\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} < 0$. Прибавив 2, имеем $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} + 2 < 2$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty; 2)$. Ответ: Область определения $D(y): (-4; +\infty)$, область значений $E(y): (-\infty; 2)$.

в) Для функции $y = -(x + 2)^{\frac{3}{2}} + 1$. Область определения $D(y)$: выражение $(x+2)^{\frac{3}{2}}$ можно записать как $\sqrt{(x+2)^3}$. Подкоренное выражение корня четной степени (квадратного корня) должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$. Отсюда следует, что $x \ge -2$. Таким образом, $D(y) = [-2; +\infty)$. Область значений $E(y)$: при $x \ge -2$, выражение $x+2 \ge 0$, следовательно, $(x+2)^{\frac{3}{2}} \ge 0$. Умножая на -1, получаем $-(x+2)^{\frac{3}{2}} \le 0$. Прибавив 1, имеем $y = -(x+2)^{\frac{3}{2}} + 1 \le 1$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty; 1]$. Ответ: Область определения $D(y): [-2; +\infty)$, область значений $E(y): (-\infty; 1]$.

г) Для функции $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x-3}} - 4$. Область определения $D(y)$: кубический корень определен для любого действительного числа. Единственное ограничение накладывается знаменателем, который не должен быть равен нулю: $\sqrt[3]{x-3} \neq 0$. Это равносильно условию $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Область значений $E(y)$: выражение $\sqrt[3]{x-3}$ может принимать любое действительное значение, кроме 0. Следовательно, дробь $\frac{2}{\sqrt[3]{x-3}}$ также может принимать любое действительное значение, кроме 0. Тогда функция $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x-3}} - 4$ может принимать любое значение, кроме $0 - 4 = -4$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$. Ответ: Область определения $D(y): (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$, область значений $E(y): (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

9.14. Решите графически уравнение:

a) $x^{\frac{1}{2}} = 6 - x;$

б) $x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^2};$

В) $x^{\frac{1}{4}} = x^3;$

Г) $x^{\frac{2}{3}} = x - 4.$

а) Чтобы решить уравнение $x^{\frac{1}{2}} = 6 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{1}{2}}$ и $y = 6 - x$.

График функции $y = x^{\frac{1}{2}}$, или $y = \sqrt{x}$, — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Область определения этой функции $x \ge 0$. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).

График функции $y = 6 - x$ — это прямая линия, проходящая через точки (0, 6) и (6, 0).

При построении графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки является решением уравнения. Из графика легко определить, что точка пересечения имеет координаты (4, 2).

Проверим подстановкой: левая часть $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$; правая часть $6 - 4 = 2$. Равенство $2 = 2$ является верным.

Ответ: $x = 4$.

б) Чтобы решить уравнение $x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^2}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{3}{2}}$ и $y = \frac{1}{x^2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется из условий $x \ge 0$ (для функции $y = x^{\frac{3}{2}}$) и $x \ne 0$ (для функции $y = \frac{1}{x^2}$). Таким образом, мы ищем решение при $x > 0$.

График функции $y = x^{\frac{3}{2}}$ расположен в первой координатной четверти. Он выходит из точки (0, 0) и является возрастающей, выпуклой вниз кривой. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (4, 8).

График функции $y = \frac{1}{x^2}$ при $x > 0$ также находится в первой координатной четверти. Это убывающая функция, асимптотически приближающаяся к осям координат. Ключевые точки: (1, 1), (2, 1/4), (1/2, 4).

Функция $y = x^{\frac{3}{2}}$ возрастает на всей области определения ($x>0$), а функция $y = \frac{1}{x^2}$ убывает. Следовательно, их графики могут пересечься не более одного раза. Из графиков и ключевых точек видно, что они пересекаются в точке (1, 1).

Проверка: при $x=1$ левая часть $1^{\frac{3}{2}} = 1$; правая часть $\frac{1}{1^2} = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Ответ: $x = 1$.

в) Чтобы решить уравнение $x^{\frac{1}{4}} = x^3$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{1}{4}}$ и $y = x^3$.

Область определения функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ (или $y = \sqrt[4]{x}$) — это $x \ge 0$. Следовательно, решения уравнения могут быть только неотрицательными.

График функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ — это возрастающая, выпуклая вверх кривая, выходящая из начала координат. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (16, 2).

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат и также являющаяся возрастающей функцией. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (2, 8).

Оба графика проходят через точки (0, 0) и (1, 1). При $0 < x < 1$ график $y = x^{\frac{1}{4}}$ расположен выше графика $y = x^3$. При $x > 1$ график $y = x^3$ растет гораздо быстрее и расположен выше графика $y = x^{\frac{1}{4}}$. Таким образом, точки (0, 0) и (1, 1) — единственные точки пересечения.

Проверим найденные абсциссы:
При $x=0$: $0^{\frac{1}{4}} = 0$ и $0^3 = 0$. Равенство $0=0$ верно.
При $x=1$: $1^{\frac{1}{4}} = 1$ и $1^3 = 1$. Равенство $1=1$ верно.

Ответ: $x = 0, x = 1$.

г) Для графического решения уравнения $x^{\frac{2}{3}} = x - 4$ построим графики функций $y = x^{\frac{2}{3}}$ и $y = x - 4$.

График функции $y = x^{\frac{2}{3}}$ (или $y = (\sqrt[3]{x})^2$) определён для всех действительных чисел $x$. Так как показатель степени $2/3$ имеет чётный числитель, функция является чётной, и её график симметричен относительно оси OY. График проходит через начало координат, где имеет точку возврата (касп). Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$). Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (8, 4), (-8, 4).

График функции $y = x - 4$ — это прямая, которая пересекает ось OY в точке (0, -4) и ось OX в точке (4, 0).

Построим графики. При $x < 4$ прямая $y=x-4$ лежит ниже оси абсцисс, а кривая $y=x^{\frac{2}{3}}$ всегда лежит выше или на оси абсцисс. Следовательно, пересечение возможно только при $x > 4$. Из ключевых точек видно, что графики пересекаются в точке (8, 4).

Проверим найденное решение: левая часть $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$; правая часть $8 - 4 = 4$. Равенство $4 = 4$ верно.

Ответ: $x = 8$.

09.15. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y = x^{\frac{5}{2}}, \\ y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^{-\frac{1}{3}}, \\ y = \sqrt{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^{\frac{1}{6}}, \\ y = |x|; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^{-\frac{2}{3}}, \\ 2x - y - 1 = 0. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему уравнений графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{5}{2}}$ и $y = 1$.

1. График функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ (или $y = (\sqrt{x})^5$) определён для $x \ge 0$. Функция возрастает на всей области определения. График выходит из начала координат $(0, 0)$ и проходит через точку $(1, 1)$, так как $1^{\frac{5}{2}} = 1$.

2. График функции $y = 1$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, 1)$ на оси ординат (оси Oy).

Для нахождения решения системы найдём точку пересечения этих двух графиков. Приравняем правые части уравнений:

$x^{\frac{5}{2}} = 1$

Возводя обе части в степень $\frac{2}{5}$, получаем:

$(x^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = 1^{\frac{2}{5}}$

$x = 1$

При $x = 1$, значение $y$ из обоих уравнений равно 1. Таким образом, графики пересекаются в одной точке с координатами $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$

б)

Рассмотрим систему уравнений $y = x^{-\frac{1}{3}}$ и $y = \sqrt{x}$. Для графического решения построим графики этих функций.

1. График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$ (т.е. $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$). Ветви графика находятся в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат. Для $x > 0$ функция убывает. График проходит через точку $(1, 1)$.

2. График функции $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции — $x \ge 0$. Функция возрастает на всей области определения. График выходит из начала координат $(0, 0)$ и проходит через точку $(1, 1)$.

Поскольку область определения функции $y = \sqrt{x}$ это $x \ge 0$, нас интересуют только пересечения в I координатной четверти (для $x > 0$), так как в точке $x=0$ первая функция не определена. Приравняем выражения для $y$:

$x^{-\frac{1}{3}} = \sqrt{x}$

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{\frac{1}{2}}$

Умножим обе части на $x^{\frac{1}{3}}$ (это возможно, так как $x > 0$):

$1 = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}}$

$1 = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}}$

Отсюда следует, что $x=1$. Подставив $x=1$ в любое из уравнений, находим $y=1$. Точка пересечения графиков — $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$

в)

Для решения системы $y = x^{\frac{1}{6}}$ и $y = |x|$ построим графики обеих функций.

1. График функции $y = x^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{x}$. Область определения: $x \ge 0$. Функция возрастающая, график расположен в I координатной четверти. Он выходит из точки $(0, 0)$ и проходит через точку $(1, 1)$.

2. График функции $y = |x|$ представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат. Он состоит из двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$.

Поскольку область определения функции $y = x^{\frac{1}{6}}$ — это $x \ge 0$, мы ищем пересечения только в этой области. Здесь график $y=|x|$ совпадает с графиком $y=x$. Таким образом, задача сводится к решению системы:

$\left\{ \begin{array}{l} y = x^{\frac{1}{6}} \\ y = x \end{array} \right.$

Приравниваем правые части:

$x^{\frac{1}{6}} = x$

Одно из решений очевидно: $x=0$. Если $x=0$, то $y=0$. Точка $(0, 0)$ является решением.

Если $x > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x^{\frac{1}{6}}$:

$1 = \frac{x}{x^{\frac{1}{6}}} = x^{1-\frac{1}{6}} = x^{\frac{5}{6}}$

Отсюда $x=1$. Если $x=1$, то $y=1$. Точка $(1, 1)$ также является решением.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$

г)

Рассмотрим систему уравнений $y = x^{-\frac{2}{3}}$ и $2x - y - 1 = 0$. Преобразуем второе уравнение к виду $y = 2x - 1$ и построим графики функций.

1. График функции $y = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2}$. Область определения: $x \ne 0$. Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси Oy. Так как знаменатель всегда положителен, $y > 0$ для всех $x$ из области определения. При $x \to 0$, $y \to +\infty$ (ось Oy — вертикальная асимптота). При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$ (ось Ox — горизонтальная асимптота). График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

2. График функции $y = 2x - 1$ — это прямая. Она пересекает ось Oy в точке $(0, -1)$ и ось Ox в точке $(0.5, 0)$. Прямая также проходит через точку $(1, 1)$, так как $y(1) = 2(1) - 1 = 1$.

Сравнивая графики, мы видим, что точка $(1, 1)$ является точкой пересечения, а значит, и решением системы.

Проверим наличие других точек пересечения.

Для $x > 0$: функция $y = x^{-\frac{2}{3}}$ является убывающей, а функция $y = 2x - 1$ — возрастающей. Две монотонные функции (одна убывающая, другая возрастающая) могут пересечься не более одного раза. Следовательно, $(1, 1)$ — единственное решение для $x > 0$.

Для $x < 0$: функция $y = x^{-\frac{2}{3}}$ является возрастающей. Прямая $y = 2x - 1$ также возрастает. В точке $x=-1$ значение первой функции $y(-1)=1$, а второй $y(-1) = 2(-1)-1 = -3$. Видно, что при $x=-1$ кривая находится значительно выше прямой. При приближении $x$ к 0 слева, $y=x^{-2/3}$ стремится к $+\infty$, а $y=2x-1$ стремится к $-1$. Можно показать, что при $x<0$ график $y=x^{-2/3}$ всегда лежит выше прямой $y=2x-1$, поэтому других точек пересечения нет.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(1, 1)$

9.16. Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} y = x^{-\frac{8}{5}}, \\ y = x^2 - 4x + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^{\frac{1}{9}}, \\ y = 2x + 3; \end{cases}$

В) $\begin{cases} y = x^{-\frac{5}{3}}, \\ y = 2x^2; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} y = x^{\frac{2}{7}}, \\ y = (x + 2)^3. \end{cases}$

Для определения числа решений каждой системы уравнений проанализируем графики функций, стоящих в левых и правых частях уравнений. Число решений системы равно числу точек пересечения этих графиков.

а) $ \begin{cases} y = x^{\frac{8}{5}} \\ y = x^2 - 4x + 1 \end{cases} $

1. Проанализируем первую функцию $y_1 = x^{\frac{8}{5}}$. Показатель степени $\frac{8}{5}$ является рациональным числом с нечетным знаменателем, поэтому область определения функции — все действительные числа ($D(y_1) = (-\infty; +\infty)$). Поскольку числитель 8 — четное число, функция $y_1 = (\sqrt[5]{x})^8$ принимает только неотрицательные значения ($y_1 \ge 0$). Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy. При $x>0$ функция возрастает, при $x<0$ — убывает. В точке $(0,0)$ находится минимум функции. График функции выпуклый вниз.

2. Проанализируем вторую функцию $y_2 = x^2 - 4x + 1$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$, $y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = -3$.

3. Найдем число точек пересечения. Так как $y_1 = x^{\frac{8}{5}} \ge 0$, решения системы могут существовать только для тех $x$, при которых $y_2 = x^2 - 4x + 1 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. Таким образом, $y_2 \ge 0$ при $x \in (-\infty, 2-\sqrt{3}] \cup [2+\sqrt{3}, \infty)$.

Рассмотрим эти промежутки:

• При $x < 0$: $y_1(x) = x^{\frac{8}{5}}$ убывает. $y_2(x) = x^2 - 4x + 1$ также убывает (вершина параболы в $x=2$). В точке $x=0$ имеем $y_1(0)=0$ и $y_2(0)=1$. При $x \to -\infty$ обе функции стремятся к $+\infty$, но $y_2$ растет как $x^2$, а $y_1$ как $x^{1.6}$, то есть медленнее. Можно показать, что при $x<0$ график параболы всегда лежит выше графика степенной функции, поэтому на этом промежутке пересечений нет.
• При $x \in [0, 2-\sqrt{3}]$ (примерно $[0, 0.268]$): $y_1(x)$ возрастает от $0$ до $(2-\sqrt{3})^{8/5}$, а $y_2(x)$ убывает от $1$ до $0$. Так как $y_1(0) < y_2(0)$ и $y_1(2-\sqrt{3}) > y_2(2-\sqrt{3})$, на этом отрезке графики пересекаются ровно один раз.
• При $x \in (2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$: $y_2(x) < 0$, а $y_1(x) \ge 0$, поэтому пересечений нет.
• При $x \in [2+\sqrt{3}, \infty)$ (примерно $[3.732, \infty)$): обе функции возрастают. В точке $x=2+\sqrt{3}$ имеем $y_1(2+\sqrt{3}) > 0$ и $y_2(2+\sqrt{3}) = 0$. При $x \to \infty$ парабола $y_2=x^2-4x+1$ растет быстрее, чем степенная функция $y_1=x^{1.6}$. Это означает, что парабола, начиная с более низкого значения, в итоге обгонит степенную функцию. Следовательно, на этом промежутке должно быть одно пересечение.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

б) $ \begin{cases} y = x^{\frac{1}{9}} \\ y = 2x + 3 \end{cases} $

1. Функция $y_1 = x^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{x}$ определена и возрастает на всей числовой оси.

2. Функция $y_2 = 2x+3$ также является возрастающей на всей числовой оси.

3. Найдем число решений уравнения $x^{\frac{1}{9}} = 2x+3$. Рассмотрим функцию $f(x) = 2x+3 - x^{\frac{1}{9}}$. Число решений системы равно числу нулей этой функции. Найдем производную: $f'(x) = 2 - \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}} = 2 - \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$. Приравняем производную к нулю: $2 - \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}} = 0 \Rightarrow \sqrt[9]{x^8} = \frac{1}{18} \Rightarrow |x|^{\frac{8}{9}} = \frac{1}{18}$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = -(\frac{1}{18})^{\frac{9}{8}}$ (точка максимума) и $x_2 = (\frac{1}{18})^{\frac{9}{8}}$ (точка минимума).

Проанализируем поведение функции $f(x)$:

• При $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$.
• Функция возрастает до точки $x_1$, где имеет локальный максимум. $f(x_1) = 2x_1+3 - x_1^{\frac{1}{9}} = -2(\frac{1}{18})^{\frac{9}{8}} + 3 + (\frac{1}{18})^{\frac{1}{8}} > 0$.
• Так как $f(-\infty) < 0$ и $f(x_1) > 0$, на интервале $(-\infty, x_1)$ есть один корень.
• Функция убывает от $x_1$ до $x_2$. $f(x_2) = 2x_2+3 - x_2^{\frac{1}{9}} = 2(\frac{1}{18})^{\frac{9}{8}} + 3 - (\frac{1}{18})^{\frac{1}{8}} > 0$. Локальный минимум положителен.
• Так как $f(x_1)>0$ и $f(x_2)>0$, на интервале $(x_1, x_2)$ корней нет.
• После $x_2$ функция возрастает от положительного значения $f(x_2)$ до $+\infty$, поэтому на $(x_2, \infty)$ корней нет.

Следовательно, существует только одно решение.

Ответ: 1 решение.

в) $ \begin{cases} y = x^{-\frac{5}{3}} \\ y = 2x^2 \end{cases} $

1. Функция $y_1 = x^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}$ определена для всех $x \neq 0$. При $x>0$ значения $y_1$ положительны. При $x<0$ значения $y_1$ отрицательны.

2. Функция $y_2 = 2x^2$ определена для всех $x$. Ее значения всегда неотрицательны ($y_2 \ge 0$).

3. Найдем точки пересечения.

• При $x<0$, $y_1 < 0$, а $y_2 > 0$. Пересечений нет.
• При $x>0$, $y_1 > 0$ и $y_2 > 0$. Приравняем функции: $x^{-\frac{5}{3}} = 2x^2$. Умножим обе части на $x^{\frac{5}{3}}$: $1 = 2x^2 \cdot x^{\frac{5}{3}} \Rightarrow 1 = 2x^{2+\frac{5}{3}} \Rightarrow 1 = 2x^{\frac{11}{3}}$. Отсюда $x^{\frac{11}{3}} = \frac{1}{2}$, что дает единственное решение $x = (\frac{1}{2})^{\frac{3}{11}}$.

Также можно заметить, что на промежутке $(0, \infty)$ функция $y_1 = x^{-\frac{5}{3}}$ является убывающей, а функция $y_2 = 2x^2$ — возрастающей. Графики возрастающей и убывающей функций могут пересечься не более одного раза.

Ответ: 1 решение.

г) $ \begin{cases} y = x^{\frac{2}{7}} \\ y = (x+2)^3 \end{cases} $

1. Функция $y_1 = x^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{x^2}$ определена для всех $x$. Так как $x$ возводится в четную степень, $y_1 \ge 0$.

2. Функция $y_2 = (x+2)^3$ — это кубическая парабола, сдвинутая на 2 влево. Она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

3. Найдем точки пересечения. Решения могут существовать только там, где $y_2 \ge 0$, то есть при $(x+2)^3 \ge 0 \Rightarrow x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.

Рассмотрим промежуток $[-2, \infty)$:

• Проверим граничные и другие характерные точки. При $x=-2$: $y_1 = (-2)^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{4} > 0$, а $y_2 = (-2+2)^3 = 0$. При $x=-1$: $y_1 = (-1)^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{1} = 1$, а $y_2 = (-1+2)^3 = 1$. Таким образом, $x=-1$ — это решение. При $x=0$: $y_1 = 0^{\frac{2}{7}} = 0$, а $y_2 = (0+2)^3 = 8$.
• На интервале $(-2, 0)$ функция $y_1 = (\sqrt[7]{-x})^2$ является убывающей (так как основание $-x$ убывает). Функция $y_2 = (x+2)^3$ является возрастающей. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Мы уже нашли это пересечение в точке $x=-1$.
• На интервале $(0, \infty)$ обе функции возрастают. В точке $x=0$ имеем $y_1(0) < y_2(0)$. При больших $x$ функция $y_2 \sim x^3$ растет значительно быстрее, чем $y_1 \sim x^{0.28}$. Графически, $y_1$ является выпуклой вверх, а $y_2$ — выпуклой вниз (для $x>-2$). Можно показать, что на этом промежутке график $y_2$ всегда будет выше графика $y_1$. Пересечений нет.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: 1 решение.

9.17. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} x, \text{ если } x < 0, \\ \frac{5}{x^3}, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} |x|, \text{ если } x < 1, \\ \frac{1}{x^3}, \text{ если } x \ge 1. \end{cases}$

Заданная функция является кусочной: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x < 0 \\ x^{\frac{5}{3}}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:

1. Для $x < 0$ строим график функции $y=x$. Это прямая линия (биссектриса второго координатного угла), проходящая через точки $(-1, -1)$, $(-2, -2)$ и т.д. В точке $x=0$ будет выколотая точка $(0,0)$.

2. Для $x \ge 0$ строим график функции $y = x^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{x^5}$. Это степенная функция. Она проходит через точки $(0,0)$ (точка включена) и $(1,1)$. Поскольку показатель степени $\frac{5}{3} > 1$, функция возрастает быстрее линейной и ее график выпуклый вниз.

3. Совмещая обе части, получаем график всей функции. Так как предел слева в точке $x=0$ равен $\lim_{x \to 0^-} x = 0$ и значение функции в этой точке $y(0) = 0^{\frac{5}{3}} = 0$, функция является непрерывной в точке $x=0$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: функция принимает все действительные значения, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Монотонность: производная $y'=1$ при $x<0$ и $y'=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} \ge 0$ при $x \ge 0$. Функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
• Экстремумы: точек максимума и минимума нет.
• Четность, нечетность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
• Асимптоты: при $x \to -\infty$ график функции совпадает с прямой $y=x$, которая является наклонной асимптотой.

Ответ: График функции состоит из луча $y=x$ для $x < 0$ и кривой $y=x^{5/3}$ для $x \ge 0$. Основные свойства: область определения и область значений — все действительные числа; функция непрерывна и возрастает на всей числовой оси; нуль функции в точке $x=0$; $y>0$ при $x>0$ и $y<0$ при $x<0$; экстремумов не имеет; асимптота $y=x$ при $x \to -\infty$.

Заданная функция является кусочной: $y = \begin{cases} |x|, & \text{если } x < 1 \\ x^{\frac{1}{3}}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Раскроем модуль, чтобы представить функцию в более удобном виде: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Построение графика:

1. Для $x < 0$ строим график $y=-x$. Это луч, выходящий из точки $(0,0)$ и проходящий через $(-1, 1)$.

2. Для $0 \le x < 1$ строим график $y=x$. Это отрезок, соединяющий точки $(0,0)$ (включительно) и $(1,1)$ (не включительно).

3. Для $x \ge 1$ строим график $y = \sqrt[3]{x}$. Это ветвь кубического корня, начинающаяся в точке $(1,1)$ (включительно) и проходящая, например, через точку $(8,2)$.

4. График непрерывен в точках "склейки" $x=0$ и $x=1$, так как значения функции и пределы слева и справа в этих точках совпадают. Однако в этих точках есть изломы, поэтому функция недифференцируема.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: функция принимает только неотрицательные значения, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$. Это точка глобального минимума.
• Четность, нечетность: функция является функцией общего вида.
• Асимптоты: при $x \to -\infty$ график функции совпадает с прямой $y=-x$, которая является наклонной асимптотой.

Ответ: График функции состоит из частей прямых $y=|x|$ для $x < 1$ и кривой $y=\sqrt[3]{x}$ для $x \ge 1$. Основные свойства: область определения — все действительные числа, область значений — $[0; +\infty)$; функция непрерывна на всей числовой оси; нуль функции в точке $x=0$; $y>0$ при $x \ne 0$; убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$; имеет точку глобального минимума $(0,0)$; асимптота $y=-x$ при $x \to -\infty$.