Номер 9.11, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.11, страница 51.

Постройте график функции:

9.11. a) $y = (x + 3)^{\frac{1}{6}} - 1;$

б) $y = (x - 2)^{-\frac{1}{9}} + 5;$

в) $y = (x + 6)^{\frac{7}{4}} + 2;$

г) $y = (x - 3)^{\frac{1}{2}} - 1.$

а) $y = (x + 3)^{\frac{1}{6}} - 1$

1. Область определения функции (ОДЗ). Поскольку показатель степени $p = \frac{1}{6}$ имеет четный знаменатель (6), выражение в основании степени должно быть неотрицательным.
$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-3; +\infty)$.

2. Построение графика. График данной функции можно получить из графика базовой степенной функции $y_0 = x^{\frac{1}{6}}$ (или $y_0 = \sqrt[6]{x}$) с помощью последовательных преобразований:

• Сдвигаем график $y_0 = x^{\frac{1}{6}}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox, чтобы получить график функции $y_1 = (x+3)^{\frac{1}{6}}$.
• Сдвигаем полученный график $y_1$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = (x+3)^{\frac{1}{6}} - 1$.

График базовой функции $y_0 = x^{\frac{1}{6}}$ выходит из точки (0,0) и является возрастающим и выпуклым вверх (похож на ветвь параболы, лежащую на боку).

3. Ключевые точки для построения.

• Начальная точка графика (вершина): при $x = -3$, $y = (-3 + 3)^{\frac{1}{6}} - 1 = 0 - 1 = -1$. Точка (-3, -1).
• Пересечение с осью Ox (y=0): $0 = (x+3)^{\frac{1}{6}} - 1 \implies (x+3)^{\frac{1}{6}} = 1 \implies x+3 = 1^6 \implies x = -2$. Точка (-2, 0).
• Дополнительная точка: пусть $x+3 = 64$ (удобное число для извлечения корня), тогда $x=61$. $y = 64^{\frac{1}{6}} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка (61, 1).

Ответ: График функции является ветвью, выходящей из точки (-3, -1), возрастающей и проходящей через точку (-2, 0).

б) $y = (x - 2)^{-\frac{1}{9}} + 5$

1. Область определения функции (ОДЗ). Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{(x-2)^{\frac{1}{9}}} + 5$ или $y = \frac{1}{\sqrt[9]{x-2}} + 5$. Из-за того, что выражение стоит в знаменателе, оно не должно быть равно нулю: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Знаменатель показателя степени (9) нечетный, поэтому подкоренное выражение может принимать любые значения.
Следовательно, область определения: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Построение графика. График можно получить из графика базовой функции $y_0 = x^{-\frac{1}{9}}$ (или $y_0 = \frac{1}{\sqrt[9]{x}}$), который похож на график гиперболы $y=1/x$. Преобразования:

• Сдвиг графика $y_0$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получим $y_1 = (x-2)^{-\frac{1}{9}}$.
• Сдвиг графика $y_1$ на 5 единиц вверх вдоль оси Oy. Получим $y = (x-2)^{-\frac{1}{9}} + 5$.

В результате этих сдвигов асимптоты графика смещаются.

3. Асимптоты и ключевые точки.

• Вертикальная асимптота: $x=2$.
• Горизонтальная асимптота: $y=5$.
• Ключевые точки:
  • При $x-2 = 1 \implies x=3$, $y = 1^{-\frac{1}{9}} + 5 = 1 + 5 = 6$. Точка (3, 6).
  • При $x-2 = -1 \implies x=1$, $y = (-1)^{-\frac{1}{9}} + 5 = -1 + 5 = 4$. Точка (1, 4).

При $x \to 2^+$, $y \to +\infty$. При $x \to 2^-$, $y \to -\infty$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, аналогичных гиперболе, с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=5$. Одна ветвь находится "справа-сверху" от точки пересечения асимптот и проходит через точку (3, 6). Другая ветвь находится "слева-снизу" и проходит через точку (1, 4).

в) $y = (x + 6)^{\frac{7}{4}} + 2$

1. Область определения функции (ОДЗ). Знаменатель показателя степени $p = \frac{7}{4}$ четный (4), поэтому основание степени должно быть неотрицательным.
$x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$
Следовательно, область определения: $D(y) = [-6; +\infty)$.

2. Построение графика. График получаем из графика базовой функции $y_0 = x^{\frac{7}{4}}$ с помощью сдвигов:

• Сдвиг графика $y_0$ на 6 единиц влево вдоль оси Ox, получаем $y_1 = (x+6)^{\frac{7}{4}}$.
• Сдвиг графика $y_1$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy, получаем $y = (x+6)^{\frac{7}{4}} + 2$.

Поскольку показатель степени $7/4 = 1.75 > 1$, функция возрастает, и ее график является выпуклым вниз (растет быстрее линейной функции).

3. Ключевые точки.

• Начальная точка графика: при $x=-6$, $y = (-6+6)^{\frac{7}{4}} + 2 = 0 + 2 = 2$. Точка (-6, 2).
• Дополнительная точка: при $x+6=1 \implies x=-5$, $y = 1^{\frac{7}{4}} + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка (-5, 3).
• Функция растет очень быстро. Например, при $x=10$, $y = (10+6)^{\frac{7}{4}} + 2 = 16^{\frac{7}{4}} + 2 = (2^4)^{\frac{7}{4}} + 2 = 2^7 + 2 = 128 + 2 = 130$.

Ответ: График функции — это ветвь, которая начинается в точке (-6, 2), проходит через точку (-5, 3) и очень быстро возрастает, будучи выпуклой вниз.

г) $y = (x - 3)^{\frac{1}{2}} - 1$

1. Область определения функции (ОДЗ). Функцию можно записать как $y = \sqrt{x-3} - 1$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$
Следовательно, область определения: $D(y) = [3; +\infty)$.

2. Построение графика. График получаем из графика базовой функции $y_0 = \sqrt{x}$ (верхняя ветвь параболы $y^2=x$) с помощью сдвигов:

• Сдвиг графика $y_0 = \sqrt{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox, получаем $y_1 = \sqrt{x-3}$.
• Сдвиг графика $y_1$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy, получаем $y = \sqrt{x-3} - 1$.

3. Ключевые точки.

• Начальная точка (вершина): при $x=3$, $y = \sqrt{3-3} - 1 = 0 - 1 = -1$. Точка (3, -1).
• Пересечение с осью Ox (y=0): $0 = \sqrt{x-3} - 1 \implies \sqrt{x-3} = 1 \implies x-3=1 \implies x=4$. Точка (4, 0).
• Дополнительная точка: при $x=7$, $y = \sqrt{7-3} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка (7, 1).

Ответ: График функции — это ветвь параболы, выходящая из точки (3, -1), направленная вправо и вверх и пересекающая ось Ox в точке (4, 0).