Номер 9.8, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.8, страница 50.

9.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = x^{\frac{5}{2}}:$

а) на луче $[0; +\infty)$;

б) на полуинтервале $[1; 3)$;

в) на отрезке $[1; 2]$;

г) на полуинтервале $(6; 8]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ на различных промежутках, исследуем её на монотонность. Область определения функции — $x \ge 0$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^{\frac{5}{2}})' = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$.

На всей области определения, где $x > 0$, производная $y' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} > 0$. Это означает, что функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ является строго возрастающей на промежутке $[0; +\infty)$.

Это свойство мы будем использовать для решения задачи на каждом из заданных промежутков.

а) на луче $[0; +\infty)$

Поскольку функция является возрастающей на всем луче $[0; +\infty)$, наименьшее значение она принимает в самой левой точке промежутка, то есть при $x = 0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^{\frac{5}{2}} = 0$.

Так как промежуток неограничен справа ($x \to +\infty$), функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ также неограниченно возрастает. Следовательно, наибольшего значения на этом промежутке не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшего значения не существует.

б) на полуинтервале $[1; 3)$

На данном полуинтервале функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ возрастает. Наименьшее значение достигается в левой точке $x=1$, которая включена в промежуток.

$y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$.

Правая граница $x=3$ не включена в промежуток. При $x$, стремящемся к 3, значения функции стремятся к $y(3) = 3^{\frac{5}{2}} = \sqrt{3^5} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}$. Однако это значение не достигается. Таким образом, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке $[1; 2]$

На отрезке $[1; 2]$ функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ возрастает. Наименьшее значение достигается в левой точке $x=1$, а наибольшее — в правой точке $x=2$, так как обе точки принадлежат отрезку.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 2^{\frac{5}{2}} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшее значение равно $4\sqrt{2}$.

г) на полуинтервале $(6; 8]$

На данном полуинтервале функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ возрастает. Левая граница $x=6$ не включена в промежуток. При $x$, стремящемся к 6, значения функции стремятся к $y(6) = 6^{\frac{5}{2}} = \sqrt{6^5} = \sqrt{7776} = 36\sqrt{6}$. Так как это значение не достигается, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Наибольшее значение достигается в правой точке $x=8$, которая включена в промежуток.

$y_{наиб} = y(8) = 8^{\frac{5}{2}} = \sqrt{8^5} = \sqrt{(2^3)^5} = \sqrt{2^{15}} = \sqrt{2^{14} \cdot 2} = 2^7\sqrt{2} = 128\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение равно $128\sqrt{2}$.