Номер 9.6, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.6, страница 50.

9.6. Исследуйте степенную функцию на монотонность:

а) $y = x^{12};$

б) $y = x^{-\frac{1}{6}};$

в) $y = x^{-11};$

г) $y = x^{\frac{1}{7}}.$

а) $y = x^{12}$

Это степенная функция с показателем $p = 12$. Так как показатель является четным натуральным числом, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для исследования на монотонность найдем производную функции: $y' = (x^{12})' = 12x^{11}$.

Теперь определим знаки производной. Производная обращается в ноль при $x = 0$. Если $x > 0$, то $x^{11} > 0$, следовательно, $y' = 12x^{11} > 0$. На этом промежутке функция возрастает. Если $x < 0$, то $x^{11} < 0$, следовательно, $y' = 12x^{11} < 0$. На этом промежутке функция убывает.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

б) $y = x^{-\frac{1}{6}}$

Это степенная функция с показателем $p = -\frac{1}{6}$. Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{1/6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{x}}$. Подкоренное выражение для корня четной степени должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а знаменатель не должен быть равен нулю ($x \neq 0$). Следовательно, область определения функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

Найдем производную функции: $y' = (x^{-\frac{1}{6}})' = -\frac{1}{6}x^{-\frac{1}{6}-1} = -\frac{1}{6}x^{-\frac{7}{6}} = -\frac{1}{6\sqrt[6]{x^7}}$.

Определим знак производной на области определения. Для любого $x$ из промежутка $(0; +\infty)$ выражение $\sqrt[6]{x^7}$ положительно. Следовательно, производная $y' = -\frac{1}{6\sqrt[6]{x^7}}$ всегда отрицательна на всей области определения.

Так как производная отрицательна, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

в) $y = x^{-11}$

Это степенная функция с показателем $p = -11$. Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{11}}$. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции: $y' = (x^{-11})' = -11x^{-11-1} = -11x^{-12} = -\frac{11}{x^{12}}$.

Определим знак производной. Для любого $x \neq 0$, выражение $x^{12}$ (степень с четным показателем) положительно. Следовательно, производная $y' = -\frac{11}{x^{12}}$ всегда отрицательна на всей области определения.

Функция убывает на каждом из интервалов, составляющих ее область определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

г) $y = x^{\frac{1}{7}}$

Это степенная функция с показателем $p = \frac{1}{7}$. Функцию можно записать в виде $y = \sqrt[7]{x}$. Так как корень нечетной степени определен для любых действительных чисел, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции: $y' = (x^{\frac{1}{7}})' = \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}} = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.

Определим знак производной. Производная не определена в точке $x = 0$. Для любого $x \neq 0$, выражение $x^6$ (степень с четным показателем) положительно. Значит, $\sqrt[7]{x^6}$ также положительно. Следовательно, производная $y' = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$ всегда положительна для всех $x \neq 0$.

Так как производная положительна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, а сама функция непрерывна в точке $x = 0$, то функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.