Номер 9.7, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.7, страница 50.

9.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = x^{\frac{1}{4}}$:

а) на отрезке $[0; 1]$;

б) на луче $[1; +\infty)$;

в) на интервале $(2; 3)$;

г) на полуинтервале $(5; 16]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ на различных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Эта функция также может быть записана как $y = \sqrt[4]{x}$.

Область определения функции — $x \ge 0$.

Для определения характера монотонности функции найдем ее производную:

$y' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

На всей области определения, где $x > 0$, производная $y'$ положительна ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ является строго возрастающей на промежутке $[0, +\infty)$.

Строго возрастающая функция на некотором промежутке принимает меньшие значения при меньших значениях аргумента и большие значения при больших значениях аргумента.

а) на отрезке [0; 1]

Так как функция является строго возрастающей на отрезке $[0; 1]$, свое наименьшее значение она принимает в левой граничной точке $x=0$, а наибольшее — в правой граничной точке $x=1$.

Наименьшее значение:

$y_{наим} = y(0) = 0^{\frac{1}{4}} = 0$

Наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 1.

б) на луче [1; +∞)

На луче $[1; +\infty)$ функция также является строго возрастающей. Наименьшее значение будет достигаться в начальной точке луча, которая принадлежит данному промежутку, то есть при $x=1$.

Наименьшее значение:

$y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$

Поскольку $x$ может принимать сколь угодно большие значения, стремясь к $+\infty$, значение функции $y$ также будет неограниченно расти. Следовательно, функция не ограничена сверху на данном луче и не имеет наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.

в) на интервале (2; 3)

На открытом интервале $(2; 3)$ функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ строго возрастает. Граничные точки $x=2$ и $x=3$ не принадлежат этому интервалу. Значения функции на этом интервале строго больше, чем $y(2)$, и строго меньше, чем $y(3)$.

$y(2) = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}$

$y(3) = 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}$

Для любого $x \in (2; 3)$, выполняется неравенство $\sqrt[4]{2} < y(x) < \sqrt[4]{3}$. Поскольку значения $\sqrt[4]{2}$ и $\sqrt[4]{3}$ не достигаются, у функции нет ни наименьшего, ни наибольшего значения на данном интервале.

Ответ: наименьшего и наибольшего значений не существует.

г) на полуинтервале (5; 16]

На полуинтервале $(5; 16]$ функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ строго возрастает. Правая граница $x=16$ принадлежит интервалу, а левая $x=5$ — нет.

Наибольшее значение функция примет в самой правой точке промежутка, которая в него включена, то есть при $x=16$.

Наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(16) = 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2$

Так как левая граница $x=5$ не включена в интервал, наименьшее значение не достигается. Значения функции на этом полуинтервале всегда больше $y(5) = \sqrt[4]{5}$, но никогда не равны этому числу.

Ответ: наибольшее значение равно 2, наименьшего значения не существует.