Номер 9.14, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.14, страница 51.

9.14. Решите графически уравнение:

a) $x^{\frac{1}{2}} = 6 - x;$

б) $x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^2};$

В) $x^{\frac{1}{4}} = x^3;$

Г) $x^{\frac{2}{3}} = x - 4.$

а) Чтобы решить уравнение $x^{\frac{1}{2}} = 6 - x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{1}{2}}$ и $y = 6 - x$.

График функции $y = x^{\frac{1}{2}}$, или $y = \sqrt{x}$, — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Область определения этой функции $x \ge 0$. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).

График функции $y = 6 - x$ — это прямая линия, проходящая через точки (0, 6) и (6, 0).

При построении графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки является решением уравнения. Из графика легко определить, что точка пересечения имеет координаты (4, 2).

Проверим подстановкой: левая часть $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$; правая часть $6 - 4 = 2$. Равенство $2 = 2$ является верным.

Ответ: $x = 4$.

б) Чтобы решить уравнение $x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^2}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{3}{2}}$ и $y = \frac{1}{x^2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется из условий $x \ge 0$ (для функции $y = x^{\frac{3}{2}}$) и $x \ne 0$ (для функции $y = \frac{1}{x^2}$). Таким образом, мы ищем решение при $x > 0$.

График функции $y = x^{\frac{3}{2}}$ расположен в первой координатной четверти. Он выходит из точки (0, 0) и является возрастающей, выпуклой вниз кривой. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (4, 8).

График функции $y = \frac{1}{x^2}$ при $x > 0$ также находится в первой координатной четверти. Это убывающая функция, асимптотически приближающаяся к осям координат. Ключевые точки: (1, 1), (2, 1/4), (1/2, 4).

Функция $y = x^{\frac{3}{2}}$ возрастает на всей области определения ($x>0$), а функция $y = \frac{1}{x^2}$ убывает. Следовательно, их графики могут пересечься не более одного раза. Из графиков и ключевых точек видно, что они пересекаются в точке (1, 1).

Проверка: при $x=1$ левая часть $1^{\frac{3}{2}} = 1$; правая часть $\frac{1}{1^2} = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Ответ: $x = 1$.

в) Чтобы решить уравнение $x^{\frac{1}{4}} = x^3$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{1}{4}}$ и $y = x^3$.

Область определения функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ (или $y = \sqrt[4]{x}$) — это $x \ge 0$. Следовательно, решения уравнения могут быть только неотрицательными.

График функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ — это возрастающая, выпуклая вверх кривая, выходящая из начала координат. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (16, 2).

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат и также являющаяся возрастающей функцией. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (2, 8).

Оба графика проходят через точки (0, 0) и (1, 1). При $0 < x < 1$ график $y = x^{\frac{1}{4}}$ расположен выше графика $y = x^3$. При $x > 1$ график $y = x^3$ растет гораздо быстрее и расположен выше графика $y = x^{\frac{1}{4}}$. Таким образом, точки (0, 0) и (1, 1) — единственные точки пересечения.

Проверим найденные абсциссы:
При $x=0$: $0^{\frac{1}{4}} = 0$ и $0^3 = 0$. Равенство $0=0$ верно.
При $x=1$: $1^{\frac{1}{4}} = 1$ и $1^3 = 1$. Равенство $1=1$ верно.

Ответ: $x = 0, x = 1$.

г) Для графического решения уравнения $x^{\frac{2}{3}} = x - 4$ построим графики функций $y = x^{\frac{2}{3}}$ и $y = x - 4$.

График функции $y = x^{\frac{2}{3}}$ (или $y = (\sqrt[3]{x})^2$) определён для всех действительных чисел $x$. Так как показатель степени $2/3$ имеет чётный числитель, функция является чётной, и её график симметричен относительно оси OY. График проходит через начало координат, где имеет точку возврата (касп). Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$). Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (8, 4), (-8, 4).

График функции $y = x - 4$ — это прямая, которая пересекает ось OY в точке (0, -4) и ось OX в точке (4, 0).

Построим графики. При $x < 4$ прямая $y=x-4$ лежит ниже оси абсцисс, а кривая $y=x^{\frac{2}{3}}$ всегда лежит выше или на оси абсцисс. Следовательно, пересечение возможно только при $x > 4$. Из ключевых точек видно, что графики пересекаются в точке (8, 4).

Проверим найденное решение: левая часть $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$; правая часть $8 - 4 = 4$. Равенство $4 = 4$ верно.

Ответ: $x = 8$.