Номер 9.18, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.18, страница 52.

Постройте и прочитайте график функции:

9.18. а) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, \text{ если } x < 0, \\ x^{-\frac{1}{2}}, \text{ если } x > 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} x^2 - 2x, \text{ если } -1 \le x \le 2, \\ 2(x - 2)^{0.75}, \text{ если } 2 < x \le 3. \end{cases}$

а) $ y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ x^{-\frac{1}{2}}, & \text{если } x > 0 \end{cases} $

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей.

Первая часть: $y = \frac{1}{x}$ при $x < 0$. Это ветвь стандартной гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. График симметричен относительно начала координат (но только эта ветвь). Он приближается к оси Y при $x \to 0^-$ ($y \to -\infty$) и к оси X при $x \to -\infty$ ($y \to 0^-$).
Контрольные точки: $(-4, -0.25)$, $(-2, -0.5)$, $(-1, -1)$, $(-0.5, -2)$.

Вторая часть: $y = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ при $x > 0$. Это график степенной функции, расположенный в первой координатной четверти. График приближается к оси Y при $x \to 0^+$ ($y \to +\infty$) и к оси X при $x \to +\infty$ ($y \to 0^+$).
Контрольные точки: $(0.25, 2)$, $(1, 1)$, $(4, 0.5)$.

Обе оси координат являются асимптотами для графика. Точка $x=0$ не входит в область определения, в этой точке функция имеет разрыв второго рода.

2. Свойства функции (чтение графика).

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Нули функции: нет, так как $y \neq 0$.
4. Промежутки знакопостоянства:
   • $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$;
   • $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
5. Четность: функция общего вида. Область определения симметрична, но $y(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$, а $y(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Условие четности $y(-x) = y(x)$ и нечетности $y(-x) = -y(x)$ не выполняются. Например, $y(4) = 0.5$, $y(-4) = -0.25$, при этом $-y(4) = -0.5 \neq y(-4)$.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на всей области определения, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
7. Экстремумы: локальных максимумов и минимумов нет.
8. Асимптоты:
   • Вертикальная асимптота: $x=0$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Ответ: График функции состоит из ветви гиперболы $y=1/x$ в третьей четверти и графика функции $y=1/\sqrt{x}$ в первой четверти. Свойства функции перечислены выше.

---

б) $ y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } -1 \le x \le 2 \\ 2(x-2)^{0.75}, & \text{если } 2 < x \le 3 \end{cases} $

1. Построение графика.

График функции состоит из двух частей.

Первая часть: $y = x^2 - 2x$ на отрезке $[-1; 2]$. Это часть параболы с ветвями вверх.

• Вершина параболы: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Точка вершины $(1, -1)$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
• Значения на концах отрезка:
  • при $x=-1$, $y = (-1)^2 - 2(-1) = 3$. Точка $(-1, 3)$.
  • при $x=2$, $y = 2^2 - 2(2) = 0$. Точка $(2, 0)$.
• Нули функции: $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=2$. Обе точки входят в отрезок.

Итак, это дуга параболы, проходящая через точки $(-1, 3)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$ и $(2, 0)$.

Вторая часть: $y = 2(x-2)^{0.75} = 2\sqrt[4]{(x-2)^3}$ на полуинтервале $(2; 3]$.

• Это график степенной функции, смещенный на 2 единицы вправо и растянутый в 2 раза по оси Y.
• Значения на концах интервала:
  • при $x \to 2^+$, $y \to 2(2-2)^{0.75} = 0$. График начинается из точки $(2, 0)$, что обеспечивает непрерывность функции.
  • при $x=3$, $y = 2(3-2)^{0.75} = 2(1)^{0.75} = 2$. Точка $(3, 2)$.
• Производная $y' = \frac{1.5}{\sqrt[4]{x-2}}$ положительна на $(2, 3]$, значит, функция возрастает. При $x \to 2^+$ производная стремится к $+\infty$, что означает, что касательная к графику в точке $(2, 0)$ вертикальна (если смотреть справа).

2. Свойства функции (чтение графика).

1. Область определения: $D(y) = [-1; 3]$.
2. Область значений: Минимальное значение достигается в вершине параболы: $y_{min} = -1$. Максимальное значение достигается на левом конце отрезка: $y_{max} = 3$. $E(y) = [-1; 3]$.
3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$ и $x=2$.
4. Промежутки знакопостоянства:
   • $y > 0$ при $x \in [-1; 0) \cup (2; 3]$;
   • $y < 0$ при $x \in (0; 2)$.
5. Четность: функция общего вида, так как область определения $D(y) = [-1; 3]$ несимметрична относительно начала координат.
6. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $[-1; 3]$.
7. Промежутки монотонности:
   • функция убывает на отрезке $[-1; 1]$;
   • функция возрастает на отрезке $[1; 3]$.
8. Экстремумы:
   • Точка минимума: $x_{min}=1$, $y_{min}=-1$. Это также глобальный минимум.
   • Точка локального максимума на границе области определения: $x=-1$, $y=3$. Это глобальный максимум.
   • Точка $(2, 0)$ является точкой локального минимума.

Ответ: График функции состоит из дуги параболы $y=x^2-2x$ на отрезке $[-1; 2]$ и фрагмента графика степенной функции $y = 2(x-2)^{0.75}$ на полуинтервале $(2; 3]$. Функция непрерывна. Свойства функции перечислены выше.