Номер 9.24, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.24, страница 52.

9.24. Найдите производную заданной функции:

a) $y = x^8;$

б) $y = \sqrt[4]{x^5};$

в) $y = x^{-4};$

г) $y = x^{\frac{7}{2}}.$

Для нахождения производной во всех случаях используется формула производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

а) Дана функция $y = x^8$.

Применяем формулу производной степенной функции, где показатель степени $n=8$.

$y' = (x^8)' = 8 \cdot x^{8-1} = 8x^7$.

Ответ: $y' = 8x^7$.

б) Дана функция $y = \sqrt[4]{x^5}$.

Сначала представим функцию в виде степени с рациональным показателем, используя свойство $\sqrt[m]{a^k} = a^{\frac{k}{m}}$:

$y = x^{\frac{5}{4}}$.

Теперь находим производную, где $n = \frac{5}{4}$:

$y' = (x^{\frac{5}{4}})' = \frac{5}{4} \cdot x^{\frac{5}{4} - 1} = \frac{5}{4} \cdot x^{\frac{5}{4} - \frac{4}{4}} = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.

Результат также можно записать в виде корня: $y' = \frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.

в) Дана функция $y = x^{-4}$.

Применяем формулу производной степенной функции, где показатель степени $n = -4$.

$y' = (x^{-4})' = -4 \cdot x^{-4-1} = -4x^{-5}$.

Результат можно также представить в виде дроби: $y' = -\frac{4}{x^5}$.

Ответ: $y' = -4x^{-5}$.

г) Дана функция $y = x^{\frac{7}{2}}$.

Применяем формулу производной степенной функции, где показатель степени $n = \frac{7}{2}$.

$y' = (x^{\frac{7}{2}})' = \frac{7}{2} \cdot x^{\frac{7}{2} - 1} = \frac{7}{2} \cdot x^{\frac{7}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}$.

Результат также можно записать с использованием корня: $y' = \frac{7}{2}\sqrt{x^5}$ или $y' = \frac{7}{2}x^2\sqrt{x}$.

Ответ: $y' = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}$.