Номер 9.28, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.28, страница 53.

9.28. а) $y = \left(\frac{2}{x} - 1\right)(x - x^{-1});$

б) $y = (3x^3 - 7x + 5)(\sqrt{x} + 3);$

в) $y = (7\sqrt[3]{x} + 5)(x^5 - 7x^3 + 1);$

г) $y = \left(2x^9 + x^{-\frac{1}{3}}\right)(5 - 2x).$

а) $y = (\frac{2}{x} - 1)(x - x^{-1})$

Для нахождения производной функции, представленной в виде произведения двух функций $y = u(x)v(x)$, используется правило произведения: $y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

В данном случае, пусть $u(x) = \frac{2}{x} - 1 = 2x^{-1} - 1$ и $v(x) = x - x^{-1}$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (2x^{-1} - 1)' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} - 0 = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$

$v'(x) = (x - x^{-1})' = 1 - (-1)x^{-1-1} = 1 + x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}$

Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$y' = u'v + uv' = (-\frac{2}{x^2})(x - x^{-1}) + (2x^{-1} - 1)(1 + x^{-2})$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$y' = (-\frac{2x}{x^2} + \frac{2x^{-1}}{x^2}) + (2x^{-1} \cdot 1 + 2x^{-1} \cdot x^{-2} - 1 \cdot 1 - 1 \cdot x^{-2})$

$y' = (-\frac{2}{x} + \frac{2}{x^3}) + (\frac{2}{x} + \frac{2}{x^3} - 1 - \frac{1}{x^2})$

Приведем подобные слагаемые:

$y' = (-\frac{2}{x} + \frac{2}{x}) + (\frac{2}{x^3} + \frac{2}{x^3}) - 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{4}{x^3} - \frac{1}{x^2} - 1$

Ответ: $y' = \frac{4}{x^3} - \frac{1}{x^2} - 1$

б) $y = (3x^3 - 7x + 5)(\sqrt{x} + 3)$

Используем правило произведения $y' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 3x^3 - 7x + 5$ и $v(x) = \sqrt{x} + 3 = x^{\frac{1}{2}} + 3$.

Найдем производные:

$u'(x) = (3x^3 - 7x + 5)' = 9x^2 - 7$

$v'(x) = (x^{\frac{1}{2}} + 3)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим в формулу:

$y' = (9x^2 - 7)(\sqrt{x} + 3) + (3x^3 - 7x + 5)(\frac{1}{2\sqrt{x}})$

Раскроем скобки и упростим:

$y' = (9x^2\sqrt{x} + 27x^2 - 7\sqrt{x} - 21) + (\frac{3x^3}{2\sqrt{x}} - \frac{7x}{2\sqrt{x}} + \frac{5}{2\sqrt{x}})$

Перепишем степени x в виде $x^n$ и сгруппируем подобные члены:

$y' = 9x^{2.5} + 27x^2 - 7x^{0.5} - 21 + 1.5x^{2.5} - 3.5x^{0.5} + 2.5x^{-0.5}$

$y' = (9+1.5)x^{2.5} + 27x^2 + (-7-3.5)x^{0.5} - 21 + 2.5x^{-0.5}$

$y' = 10.5x^{2.5} + 27x^2 - 10.5x^{0.5} - 21 + 2.5x^{-0.5}$

Запишем ответ, используя дроби и корни:

$y' = \frac{21}{2}x^2\sqrt{x} + 27x^2 - \frac{21}{2}\sqrt{x} - 21 + \frac{5}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{21}{2}x^2\sqrt{x} + 27x^2 - \frac{21}{2}\sqrt{x} - 21 + \frac{5}{2\sqrt{x}}$

в) $y = (7\sqrt[3]{x} + 5)(x^5 - 7x^3 + 1)$

Применим правило произведения $y' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 7\sqrt[3]{x} + 5 = 7x^{\frac{1}{3}} + 5$ и $v(x) = x^5 - 7x^3 + 1$.

Найдем производные:

$u'(x) = (7x^{\frac{1}{3}} + 5)' = 7 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$v'(x) = (x^5 - 7x^3 + 1)' = 5x^4 - 21x^2$

Подставим в формулу производной произведения:

$y' = (\frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}})(x^5 - 7x^3 + 1) + (7x^{\frac{1}{3}} + 5)(5x^4 - 21x^2)$

Раскроем скобки:

$y' = (\frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}+5} - \frac{49}{3}x^{-\frac{2}{3}+3} + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}) + (35x^{\frac{1}{3}+4} - 147x^{\frac{1}{3}+2} + 25x^4 - 105x^2)$

$y' = (\frac{7}{3}x^{\frac{13}{3}} - \frac{49}{3}x^{\frac{7}{3}} + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}) + (35x^{\frac{13}{3}} - 147x^{\frac{7}{3}} + 25x^4 - 105x^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$y' = (\frac{7}{3} + 35)x^{\frac{13}{3}} + (-\frac{49}{3} - 147)x^{\frac{7}{3}} + 25x^4 - 105x^2 + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$y' = (\frac{7+105}{3})x^{\frac{13}{3}} + (\frac{-49-441}{3})x^{\frac{7}{3}} + 25x^4 - 105x^2 + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$y' = \frac{112}{3}x^{\frac{13}{3}} - \frac{490}{3}x^{\frac{7}{3}} + 25x^4 - 105x^2 + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

Ответ: $y' = \frac{112}{3}x^{\frac{13}{3}} - \frac{490}{3}x^{\frac{7}{3}} + 25x^4 - 105x^2 + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

г) $y = (2x^9 + x^{-\frac{1}{3}})(5 - 2x)$

Снова используем правило произведения $y' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 2x^9 + x^{-\frac{1}{3}}$ и $v(x) = 5 - 2x$.

Найдем производные:

$u'(x) = (2x^9 + x^{-\frac{1}{3}})' = 18x^8 - \frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = 18x^8 - \frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

$v'(x) = (5 - 2x)' = -2$

Подставим в формулу:

$y' = (18x^8 - \frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}})(5 - 2x) + (2x^9 + x^{-\frac{1}{3}})(-2)$

Раскроем скобки:

$y' = (90x^8 - 36x^9 - \frac{5}{3}x^{-\frac{4}{3}} + \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}) + (-4x^9 - 2x^{-\frac{1}{3}})$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$y' = (-36 - 4)x^9 + 90x^8 + (\frac{2}{3} - 2)x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

$y' = -40x^9 + 90x^8 + (\frac{2-6}{3})x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

$y' = -40x^9 + 90x^8 - \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

Ответ: $y' = -40x^9 + 90x^8 - \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{-\frac{4}{3}}$