Номер 9.30, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.30, страница 53.

9.30. a) $y = \frac{5x^3 - 3x^2 + 15x - 7}{x\sqrt{x}};$

б) $y = (\sqrt[3]{x^{-1}} - 2x)(2 \sin 2x + \cos x);$

в) $y = \frac{7x^8 - 5x^4 + 12x - \sqrt{x} - 2}{\sqrt[3]{x}};$

г) $y = \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \cdot \operatorname{tg}(3x - 5).$

а) $y = \frac{5x^3 - 3x^2 + 15x - 7}{x\sqrt{x}}$

Для нахождения производной данной функции, сначала упростим выражение. Представим знаменатель в виде степени: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.

Теперь разделим каждый член числителя на знаменатель:
$y = \frac{5x^3}{x^{3/2}} - \frac{3x^2}{x^{3/2}} + \frac{15x}{x^{3/2}} - \frac{7}{x^{3/2}}$
Используя правило деления степеней $a^m / a^n = a^{m-n}$, получаем:
$y = 5x^{3 - 3/2} - 3x^{2 - 3/2} + 15x^{1 - 3/2} - 7x^{-3/2}$
$y = 5x^{3/2} - 3x^{1/2} + 15x^{-1/2} - 7x^{-3/2}$

Теперь находим производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$ для каждого слагаемого:
$y' = (5x^{3/2})' - (3x^{1/2})' + (15x^{-1/2})' - (7x^{-3/2})'$
$y' = 5 \cdot \frac{3}{2} x^{3/2 - 1} - 3 \cdot \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} + 15 \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-1/2 - 1} - 7 \cdot (-\frac{3}{2}) x^{-3/2 - 1}$
$y' = \frac{15}{2} x^{1/2} - \frac{3}{2} x^{-1/2} - \frac{15}{2} x^{-3/2} + \frac{21}{2} x^{-5/2}$

Можно оставить ответ в таком виде или привести к общему знаменателю $2x^{5/2} = 2x^2\sqrt{x}$:
$y' = \frac{15x^{1/2} \cdot x^{5/2} - 3x^{-1/2} \cdot x^{5/2} - 15x^{-3/2} \cdot x^{5/2} + 21}{2x^{5/2}}$
$y' = \frac{15x^3 - 3x^2 - 15x + 21}{2x^2\sqrt{x}} = \frac{3(5x^3 - x^2 - 5x + 7)}{2x^2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{15}{2} x^{1/2} - \frac{3}{2} x^{-1/2} - \frac{15}{2} x^{-3/2} + \frac{21}{2} x^{-5/2}$ или в более компактном виде $y' = \frac{3(5x^3 - x^2 - 5x + 7)}{2x^2\sqrt{x}}$.

б) $y = (\sqrt[3]{x^{-1}} - 2x)(2 \sin 2x + \cos x)$

Эта функция является произведением двух функций: $u(x) = \sqrt[3]{x^{-1}} - 2x$ и $v(x) = 2 \sin 2x + \cos x$.
Применим правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$.
Упростим $u(x)$: $\sqrt[3]{x^{-1}} = (x^{-1})^{1/3} = x^{-1/3}$.
$u(x) = x^{-1/3} - 2x$.
Производная $u'(x) = (x^{-1/3})' - (2x)' = -\frac{1}{3}x^{-1/3 - 1} - 2 = -\frac{1}{3}x^{-4/3} - 2$.

Теперь найдем производную $v'(x)$:
$v'(x) = (2 \sin 2x)' + (\cos x)'$.
Используя цепное правило для первого слагаемого, получаем: $(2 \sin 2x)' = 2 \cos(2x) \cdot (2x)' = 4 \cos 2x$.
Производная второго слагаемого: $(\cos x)' = -\sin x$.
Таким образом, $v'(x) = 4 \cos 2x - \sin x$.

Подставляем найденные производные в формулу для производной произведения:
$y' = (-\frac{1}{3}x^{-4/3} - 2)(2 \sin 2x + \cos x) + (x^{-1/3} - 2x)(4 \cos 2x - \sin x)$.

Ответ: $y' = \left(-\frac{1}{3}x^{-4/3} - 2\right)(2 \sin 2x + \cos x) + \left(x^{-1/3} - 2x\right)(4 \cos 2x - \sin x)$.

в) $y = \frac{7x^8 - 5x^4 + 12x - \sqrt{x} - 2}{\sqrt[3]{x}}$

Как и в пункте а), сначала упростим функцию. Представим знаменатель и члены с корнями в числителе в виде степеней: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
$y = \frac{7x^8 - 5x^4 + 12x - x^{1/2} - 2}{x^{1/3}}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:
$y = 7x^{8 - 1/3} - 5x^{4 - 1/3} + 12x^{1 - 1/3} - x^{1/2 - 1/3} - 2x^{-1/3}$
$y = 7x^{23/3} - 5x^{11/3} + 12x^{2/3} - x^{1/6} - 2x^{-1/3}$

Теперь находим производную, дифференцируя каждое слагаемое по правилу $(x^n)' = n x^{n-1}$:
$y' = 7 \cdot \frac{23}{3} x^{23/3 - 1} - 5 \cdot \frac{11}{3} x^{11/3 - 1} + 12 \cdot \frac{2}{3} x^{2/3 - 1} - \frac{1}{6} x^{1/6 - 1} - 2 \cdot (-\frac{1}{3}) x^{-1/3 - 1}$
$y' = \frac{161}{3} x^{20/3} - \frac{55}{3} x^{8/3} + 8 x^{-1/3} - \frac{1}{6} x^{-5/6} + \frac{2}{3} x^{-4/3}$

Ответ: $y' = \frac{161}{3} x^{20/3} - \frac{55}{3} x^{8/3} + 8x^{-1/3} - \frac{1}{6}x^{-5/6} + \frac{2}{3}x^{-4/3}$.

г) $y = \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \cdot \tg(3x - 5)$

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ и $v(x) = \tg(3x - 5)$.
Используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u'(x)$. Сначала представим $u(x)$ в виде степеней:
$u(x) = x^{1/2} - x^{-1/2}$.
$u'(x) = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x^{-3/2}$.
Это можно записать как $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$.

Найдем производную $v'(x) = (\tg(3x - 5))'$. Используем цепное правило и производную тангенса $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$:
$v'(x) = \frac{1}{\cos^2(3x - 5)} \cdot (3x-5)' = \frac{1}{\cos^2(3x - 5)} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2(3x-5)}$.

Теперь подставим все в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv'$
$y' = \left(\frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x^{-3/2}\right)\tg(3x - 5) + \left(x^{1/2} - x^{-1/2}\right) \frac{3}{\cos^2(3x - 5)}$.
Используя упрощенные выражения для $u(x)$ и $u'(x)$:
$y' = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}\tg(3x-5) + \frac{x-1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{3}{\cos^2(3x-5)}$.

Ответ: $y' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}}\right)\tg(3x - 5) + \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \frac{3}{\cos^2(3x - 5)}$.