Номер 9.36, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.36, страница 54.

9.36. Решите уравнение $g'(x) = 0$, если:

а) $g(x) = 2\sqrt{x} - x$;

б) $g(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}} + 2x$;

в) $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - 2x$;

Г) $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} - 2x$.

а) Для функции $g(x) = 2\sqrt{x} - x$ сначала найдем ее производную $g'(x)$.
Представим функцию в виде $g(x) = 2x^{1/2} - x$.
Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$g'(x) = (2x^{1/2} - x)' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 1 = x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$.
Теперь решим уравнение $g'(x) = 0$:
$\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0$
$\frac{1}{\sqrt{x}} = 1$
$\sqrt{x} = 1$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = 1^2 = 1$.
Область определения исходной функции: $x \ge 0$. Область определения производной: $x > 0$. Корень $x=1$ удовлетворяет этим условиям.
Ответ: $1$.

б)Для функции $g(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}} + 2x$ найдем ее производную.
Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:
$g'(x) = (\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}} + 2x)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{4}x^{\frac{5}{4} - 1} + 2$
$g'(x) = x^{\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{4}} + 2$.
Теперь решим уравнение $g'(x) = 0$:
$x^{\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $x^{\frac{1}{4}}$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^{\frac{1}{4}}$. Тогда $x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{4}})^2 = y^2$. Учитывая, что корень четной степени не может быть отрицательным, $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 - 3y + 2 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Выполним обратную замену:
1) Если $y = 1$, то $x^{\frac{1}{4}} = 1$, откуда $x = 1^4 = 1$.
2) Если $y = 2$, то $x^{\frac{1}{4}} = 2$, откуда $x = 2^4 = 16$.
Ответ: $1; 16$.

в)Для функции $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - 2x$ найдем ее производную.
$g'(x) = (\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - 2x)' = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} - 2 = x^{\frac{1}{3}} - 2$.
Теперь решим уравнение $g'(x) = 0$:
$x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$
$x^{\frac{1}{3}} = 2$
$\sqrt[3]{x} = 2$
Возведем обе части уравнения в куб:
$x = 2^3 = 8$.
Ответ: $8$.

г)Для функции $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} - 2x$ найдем ее производную.
$g'(x) = (\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} - 2x)' = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} - \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}x^{\frac{7}{6} - 1} - 2$
$g'(x) = x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} - 2$.
Теперь решим уравнение $g'(x) = 0$:
$x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} - 2 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $x^{\frac{1}{6}}$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^{\frac{1}{6}}$. Тогда $x^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{6}})^2 = y^2$. Учитывая, что корень четной степени не может быть отрицательным, $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 - y - 2 = 0$.
Решим его по теореме Виета: $y_1 = 2$, $y_2 = -1$.
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Остается один корень $y = 2$.
Выполним обратную замену:
$x^{\frac{1}{6}} = 2$
Возведем обе части в шестую степень:
$x = 2^6 = 64$.
Ответ: $64$.