Номер 9.33, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.33, страница 54.

9.33. Найдите значение производной функции $y = g(x)$ в заданной точкe $x_0$:

а) $g(x) = x^3 - 3\sqrt{x}, x_0 = 1;$

б) $g(x) = \sqrt[3]{3x - 1}, x_0 = \frac{2}{3};$

в) $g(x) = x^{-1} + x^{-2}, x_0 = 1;$

г) $g(x) = \frac{1}{3}(5 - 2x)^{-3}, x_0 = 2.$

а) Дана функция $g(x) = x^3 - 3\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $g(x)$. Для этого представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило разности.

$g(x) = x^3 - 3x^{1/2}$

$g'(x) = (x^3)' - (3x^{1/2})' = 3x^{3-1} - 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = 3x^2 - \frac{3}{2}x^{-1/2} = 3x^2 - \frac{3}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$g'(1) = 3(1)^2 - \frac{3}{2\sqrt{1}} = 3 \cdot 1 - \frac{3}{2 \cdot 1} = 3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$

б) Дана функция $g(x) = \sqrt[3]{3x - 1}$ и точка $x_0 = \frac{2}{3}$.

Представим функцию в виде $g(x) = (3x - 1)^{1/3}$. Это сложная функция, поэтому для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования сложной функции $(f(u(x)))' = f'(u) \cdot u'(x)$.

$g'(x) = ((3x - 1)^{1/3})' = \frac{1}{3}(3x - 1)^{1/3 - 1} \cdot (3x - 1)' = \frac{1}{3}(3x - 1)^{-2/3} \cdot 3 = (3x-1)^{-2/3} = \frac{1}{(3x-1)^{2/3}}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{2}{3}$ в выражение для производной:

$g'(\frac{2}{3}) = \frac{1}{(3 \cdot \frac{2}{3} - 1)^{2/3}} = \frac{1}{(2 - 1)^{2/3}} = \frac{1}{1^{2/3}} = 1$

Ответ: $1$

в) Дана функция $g(x) = x^{-1} + x^{-2}$ и точка $x_0 = 1$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило суммы.

$g'(x) = (x^{-1})' + (x^{-2})' = -1 \cdot x^{-1-1} + (-2) \cdot x^{-2-1} = -x^{-2} - 2x^{-3} = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$g'(1) = -\frac{1}{1^2} - \frac{2}{1^3} = -1 - 2 = -3$

Ответ: $-3$

г) Дана функция $g(x) = \frac{1}{3}(5 - 2x)^{-3}$ и точка $x_0 = 2$.

Это сложная функция. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции и правило производной от произведения константы на функцию.

$g'(x) = \frac{1}{3} \cdot ( (5 - 2x)^{-3} )' = \frac{1}{3} \cdot (-3)(5 - 2x)^{-3-1} \cdot (5 - 2x)'$

$g'(x) = -(5 - 2x)^{-4} \cdot (-2) = 2(5 - 2x)^{-4} = \frac{2}{(5 - 2x)^4}$

Теперь подставим значение $x_0 = 2$ в выражение для производной:

$g'(2) = \frac{2}{(5 - 2 \cdot 2)^4} = \frac{2}{(5 - 4)^4} = \frac{2}{1^4} = 2$

Ответ: $2$