Номер 9.32, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.32, страница 53.

9.32. a) $y = \sqrt[3]{\operatorname{tg} 2x};$

Б) $y = (\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)^{0.4};$

В) $y = \frac{1}{(2 \sin x + 3 \cos x)^{-\frac{3}{4}}};$

Г) $y = \sin (x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5).$

а)

Для нахождения производной функции $y = \sqrt[3]{\operatorname{tg} 2x}$ представим ее в виде степенной функции: $y = (\operatorname{tg} 2x)^{1/3}$.
Это сложная функция, для дифференцирования которой применим цепное правило $(f(g(h(x))))' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В данном случае у нас тройная вложенность: внешняя функция — возведение в степень $1/3$, средняя — тангенс, внутренняя — $2x$.
Производная находится как произведение производных этих функций:
$y' = ((\operatorname{tg} 2x)^{1/3})' = \frac{1}{3}(\operatorname{tg} 2x)^{1/3-1} \cdot (\operatorname{tg} 2x)' = \frac{1}{3}(\operatorname{tg} 2x)^{-2/3} \cdot (\operatorname{tg} 2x)'$.
Теперь найдем производную от $\operatorname{tg} 2x$, также по цепному правилу:
$(\operatorname{tg} 2x)' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.
Подставим результат в общее выражение:
$y' = \frac{1}{3}(\operatorname{tg} 2x)^{-2/3} \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{2}{3(\operatorname{tg} 2x)^{2/3} \cos^2(2x)}$.
Запишем ответ, используя корень:
$y' = \frac{2}{3\cos^2(2x)\sqrt[3]{\operatorname{tg}^2 2x}}$.
Ответ: $y' = \frac{2}{3\cos^2(2x)\sqrt[3]{\operatorname{tg}^2 2x}}$.

б)

Дана функция $y = (\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)^{0,4}$.
Это сложная функция вида $y = u^{0.4}$, где $u = \sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x$. Применяем цепное правило: $y' = 0,4 u^{0,4-1} \cdot u' = 0,4 u^{-0,6} \cdot u'$.
$y' = 0,4(\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)^{-0,6} \cdot (\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)'$.
Найдем производную внутренней функции $u'$, которая является суммой двух функций:
$u' = (\sqrt{3x-1})' + (\operatorname{ctg} 2x)'$.
Производная первого слагаемого (тоже сложная функция):
$(\sqrt{3x-1})' = ((3x-1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3x-1)^{-1/2} \cdot (3x-1)' = \frac{1}{2\sqrt{3x-1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$.
Производная второго слагаемого (тоже сложная функция):
$(\operatorname{ctg} 2x)' = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot (2x)' = -\frac{2}{\sin^2(2x)}$.
Таким образом, $u' = \frac{3}{2\sqrt{3x-1}} - \frac{2}{\sin^2(2x)}$.
Подставляем $u'$ в выражение для $y'$:
$y' = 0,4(\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)^{-0,6} \left(\frac{3}{2\sqrt{3x-1}} - \frac{2}{\sin^2(2x)}\right)$.
Ответ: $y' = 0,4(\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)^{-0,6} \left(\frac{3}{2\sqrt{3x-1}} - \frac{2}{\sin^2(2x)}\right)$.

в)

Исходная функция $y = \frac{1}{(2 \sin x + 3 \cos x)^{-3/4}}$.
Упростим выражение, используя свойство степени $1/a^{-n} = a^n$:
$y = (2 \sin x + 3 \cos x)^{3/4}$.
Это сложная функция вида $y = u^{3/4}$, где $u = 2 \sin x + 3 \cos x$. Применяем цепное правило:
$y' = \frac{3}{4} u^{3/4-1} \cdot u' = \frac{3}{4} u^{-1/4} \cdot u'$.
$y' = \frac{3}{4}(2 \sin x + 3 \cos x)^{-1/4} \cdot (2 \sin x + 3 \cos x)'$.
Найдем производную внутренней функции $u'$:
$u' = (2 \sin x)' + (3 \cos x)' = 2 \cos x - 3 \sin x$.
Подставляем $u'$ в выражение для $y'$:
$y' = \frac{3}{4}(2 \sin x + 3 \cos x)^{-1/4} (2 \cos x - 3 \sin x)$.
Запишем ответ в виде дроби с корнем в знаменателе:
$y' = \frac{3(2 \cos x - 3 \sin x)}{4(2 \sin x + 3 \cos x)^{1/4}} = \frac{3(2 \cos x - 3 \sin x)}{4\sqrt[4]{2 \sin x + 3 \cos x}}$.
Ответ: $y' = \frac{3(2 \cos x - 3 \sin x)}{4\sqrt[4]{2 \sin x + 3 \cos x}}$.

г)

Дана функция $y = \sin(x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5)$.
Это сложная функция вида $y = \sin(u)$, где $u = x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5$. Применим цепное правило: $y' = (\sin u)' \cdot u' = \cos u \cdot u'$.
$y' = \cos(x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5) \cdot (x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5)'$.
Найдем производную внутренней функции $u'$. Для этого представим корень в виде степени: $u = x^5 + 2x^{1/3} - 5$.
$u' = (x^5)' + (2x^{1/3})' - (5)' = 5x^{5-1} + 2 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3-1} - 0 = 5x^4 + \frac{2}{3}x^{-2/3}$.
Запишем производную $u'$ с использованием корня: $u' = 5x^4 + \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Подставляем $u'$ в выражение для $y'$:
$y' = \left(5x^4 + \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}\right) \cos(x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5)$.
Ответ: $y' = \left(5x^4 + \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}\right) \cos(x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5)$.