Номер 9.31, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.31, страница 53.

9.31. a) $y = \frac{x^2 - 1}{\sqrt{x + 1}}$;

б) $y = \frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1}}$;

В) $y = \frac{x^3 - 1}{\sqrt{x - 1}}$;

Г) $y = \frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1}$.

а) Для упрощения выражения разложим числитель $x^2 - 1$ на множители. Используем формулу разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Заметим, что множитель $x-1$ также можно представить как разность квадратов, если считать $x = (\sqrt{x})^2$. Таким образом, $x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.
Подставим это в исходную функцию:
$y = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(x + 1)}{\sqrt{x} + 1}$
Область определения функции задается условием $x \ge 0$, при котором знаменатель $\sqrt{x} + 1$ всегда положителен. Сокращаем дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + 1)$ и получаем:
$y = (\sqrt{x} - 1)(x + 1)$
Ответ: $y = (\sqrt{x} - 1)(x + 1)$ при $x \ge 0$.

б) Для упрощения преобразуем числитель, рассматривая его как сумму кубов. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = a^3$. Выражение $x + 1$ можно записать как $a^3 + 1^3$. Применяя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, получаем:
$x + 1 = (\sqrt[3]{x})^3 + 1^3 = (\sqrt[3]{x} + 1)((\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)$
Функция принимает вид:
$y = \frac{(\sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)}{\sqrt[3]{x} + 1}$
Область определения функции исключает значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $\sqrt[3]{x} + 1 \ne 0$, что означает $x \ne -1$. Сокращаем дробь на $(\sqrt[3]{x} + 1)$:
$y = \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1$
Ответ: $y = \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1$ при $x \ne -1$.

в) Разложим числитель $x^3 - 1$ на множители по формуле разности кубов: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. Далее, как и в пункте а), разложим множитель $(x - 1)$ как разность квадратов: $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.
Подставим в исходное выражение:
$y = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(x^2 + x + 1)}{\sqrt{x} - 1}$
Область определения функции задается двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), и знаменатель не должен быть равен нулю ($\sqrt{x} - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$). При этих условиях можно сократить дробь на $(\sqrt{x} - 1)$:
$y = (\sqrt{x} + 1)(x^2 + x + 1)$
Ответ: $y = (\sqrt{x} + 1)(x^2 + x + 1)$ при $x \ge 0, x \ne 1$.

г) Для упрощения данного выражения введем замену $a = x^{1/3}$, что равносильно $a = \sqrt[3]{x}$. Тогда $x = a^3$, и исходная функция примет вид:
$y = \frac{a^3 + 1}{a^2 - a + 1}$
Используем формулу суммы кубов для числителя: $a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$. Получаем:
$y = \frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)}{a^2 - a + 1}$
Знаменатель $a^2 - a + 1$ не обращается в ноль ни при каких действительных значениях $a$ (и, соответственно, $x$), так как дискриминант квадратного трехчлена $a^2 - a + 1$ отрицателен: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Поэтому мы можем сократить дробь. В результате получаем $y = a + 1$. Выполнив обратную замену $a = \sqrt[3]{x}$, находим окончательный вид функции:
$y = \sqrt[3]{x} + 1$
Ответ: $y = \sqrt[3]{x} + 1$.