Номер 9.26, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.26, страница 53.

9.26. a) $y = x\sqrt{x};$

б) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x}};$

В) $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{x};$

Г) $y = x^2 \cdot \sqrt[3]{x}.$

а) Чтобы упростить выражение $y = x\sqrt{x}$, необходимо представить его в виде степени с рациональным показателем. Используем свойство корня $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $ и свойство степеней $ a^m \cdot a^k = a^{m+k} $.

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$. Также учтем, что $x$ это $x^1$.

$ y = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} $

Сложим показатели степеней:

$ y = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} $

Ответ: $ y = x^{\frac{3}{2}} $

б) Для упрощения выражения $y = \frac{x^2}{\sqrt{x}}$ воспользуемся теми же свойствами, а также свойством деления степеней $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $.

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$:

$ y = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}} $

Вычтем показатель степени знаменателя из показателя степени числителя:

$ y = x^{2 - \frac{1}{2}} = x^{\frac{4}{2} - \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} $

Ответ: $ y = x^{\frac{3}{2}} $

в) Чтобы упростить выражение $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{x}$, представим кубический корень в виде степени и применим свойство деления степеней.

Представим $\sqrt[3]{x}$ как $x^{\frac{1}{3}}$ и $x$ как $x^1$:

$ y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^1} $

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:

$ y = x^{\frac{1}{3} - 1} = x^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = x^{-\frac{2}{3}} $

Ответ: $ y = x^{-\frac{2}{3}} $

г) Для упрощения выражения $y = x^2 \cdot \sqrt[3]{x}$ снова используем свойства степеней.

Представим кубический корень $\sqrt[3]{x}$ как $x^{\frac{1}{3}}$:

$ y = x^2 \cdot x^{\frac{1}{3}} $

Применим правило умножения степеней, сложив их показатели:

$ y = x^{2 + \frac{1}{3}} = x^{\frac{6}{3} + \frac{1}{3}} = x^{\frac{7}{3}} $

Ответ: $ y = x^{\frac{7}{3}} $