Номер 9.20, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.20, страница 52.

9.20. Решите графически неравенство:

a) $x^{\frac{1}{2}} < 6 - x;$

б) $x^{\frac{3}{2}} \ge x^{-2};$

В) $x^{-\frac{1}{4}} \le x^{3};$

Г) $x^{\frac{2}{3}} > x - 4.$

а) $x^{\frac{1}{2}} < 6 - x$

Чтобы решить данное неравенство графически, рассмотрим две функции: $y_1 = x^{\frac{1}{2}}$ и $y_2 = 6 - x$.

Функция $y_1 = x^{\frac{1}{2}}$ (или $y_1 = \sqrt{x}$) — это степенная функция. Её график — верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения этой функции: $x \ge 0$. График начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2).

Функция $y_2 = 6 - x$ — это линейная функция. Её график — прямая линия, которая пересекает ось Oy в точке (0, 6) и ось Ox в точке (6, 0).

Решением неравенства $x^{\frac{1}{2}} < 6 - x$ будут те значения $x$, для которых график функции $y_1$ находится ниже графика функции $y_2$.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $y_1 = y_2$:
$\sqrt{x} = 6 - x$
Возведем обе части в квадрат (при условии $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$):
$x = (6 - x)^2$
$x = 36 - 12x + x^2$
$x^2 - 13x + 36 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = 9$.
Корень $x_2 = 9$ не удовлетворяет условию $x \le 6$, поэтому является посторонним.
Следовательно, графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна $x=4$.

Анализируя графики, видим, что на интервале от 0 (включительно, так как это область определения $y_1$) до 4 (не включая, так как неравенство строгое) график $y_1 = \sqrt{x}$ лежит ниже прямой $y_2 = 6 - x$.
Ответ: $x \in [0, 4)$.

б) $x^{\frac{3}{2}} \ge x^{-2}$

Рассмотрим функции $y_1 = x^{\frac{3}{2}}$ и $y_2 = x^{-2}$.

Функция $y_1 = x^{\frac{3}{2}}$ определена при $x \ge 0$. Её график начинается в точке (0, 0) и возрастает, проходя через точки (1, 1) и (4, 8).

Функция $y_2 = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ определена при $x \ne 0$. Её график расположен в верхней полуплоскости и симметричен относительно оси Oy. При $x > 0$ график убывает, проходя через точки (1, 1) и (2, 1/4).

Общая область определения для неравенства: $x > 0$. Решением будут те значения $x$, при которых график $y_1$ лежит не ниже (то есть на или выше) графика $y_2$.

Найдем точку пересечения, решив уравнение $x^{\frac{3}{2}} = x^{-2}$:
$x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^2}$
Умножим обе части на $x^2$ (это возможно, так как $x>0$):
$x^{\frac{3}{2}} \cdot x^2 = 1$
$x^{\frac{3}{2} + 2} = 1$
$x^{\frac{7}{2}} = 1 \implies x = 1$.
Графики пересекаются в точке (1, 1).

При $0 < x < 1$ график $y_1=x^{\frac{3}{2}}$ лежит ниже графика $y_2=x^{-2}$. При $x > 1$ график $y_1$ лежит выше графика $y_2$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точка пересечения $x=1$ включается в решение.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

в) $x^{-\frac{1}{4}} \le x^3$

Рассмотрим функции $y_1 = x^{-\frac{1}{4}}$ и $y_2 = x^3$.

Функция $y_1 = x^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ определена при $x > 0$. График этой функции убывает во всей области определения, проходя через точки (1, 1) и (16, 1/2).

Функция $y_2 = x^3$ — кубическая парабола, определена для всех $x$. График возрастает и проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 8).

Общая область определения для неравенства: $x > 0$. Решением будут те значения $x$, при которых график $y_1$ лежит не выше (то есть на или ниже) графика $y_2$.

Найдем точку пересечения: $x^{-\frac{1}{4}} = x^3$:
$\frac{1}{x^{1/4}} = x^3$
$1 = x^3 \cdot x^{1/4}$
$1 = x^{3 + \frac{1}{4}} = x^{\frac{13}{4}} \implies x = 1$.
Графики пересекаются в точке (1, 1).

На интервале $(0, 1)$ график $y_1 = x^{-\frac{1}{4}}$ находится выше графика $y_2 = x^3$. При $x > 1$ график $y_1$ находится ниже графика $y_2$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точка $x=1$ включается в ответ.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

г) $x^{\frac{2}{3}} > x - 4$

Рассмотрим функции $y_1 = x^{\frac{2}{3}}$ и $y_2 = x - 4$.

Функция $y_1 = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$ определена для всех действительных чисел $x$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy. График имеет точку возврата (касп) в (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (8, 4), (-1, 1), (-8, 4).

Функция $y_2 = x - 4$ — линейная, ее график — прямая, проходящая через точки (0, -4) и (4, 0).

Решением неравенства будут те значения $x$, при которых график $y_1$ находится строго выше графика $y_2$.

Найдем точку пересечения: $x^{\frac{2}{3}} = x - 4$.
Можно заметить, что $x=8$ является корнем уравнения: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$ и $8-4=4$.
Анализ производных или дальнейшее исследование уравнения показывает, что это единственная точка пересечения.

Сравним положение графиков.
При $x < 8$, график функции $y_1 = x^{\frac{2}{3}}$ находится выше прямой $y_2 = x - 4$. Например, при $x=0$, имеем $0 > -4$. При $x<0$, значения $y_1$ всегда положительны, а значения $y_2$ отрицательны, поэтому $y_1 > y_2$.
В точке $x=8$ значения функций равны.
При $x > 8$ прямая $y_2 = x-4$ оказывается выше графика $y_1 = x^{\frac{2}{3}}$.
Неравенство строгое ($>$), поэтому точка пересечения $x=8$ не включается в решение.
Ответ: $x \in (-\infty, 8)$.